Fabrication d’un composant électronique

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Juin 2016

Exercice 1 • 6 points

Fabrication d’un composant électronique

Partie A

Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées. La chaîne A produit 40 % des composants et la chaîne B produit le reste.

Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur.

En sortie de chaîne A, 20 % des composants présentent ce défaut alors qu’en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5 %.

On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note :

A l’événement : « le composant provient de la chaîne A » 

B l’événement : « le composant provient de la chaîne B » 

S l’événement : « le composant est sans défaut »

▶ 1. Montrer que la probabilité de l’événement S est P(S) = 0,89.

2. Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu’il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à 10–2 près.

Partie B

Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d’augmenter la proportion p de composants sans défaut.

Afin d’estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de 400 composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A.

Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de 0,92.

▶ 1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance de 95 %.

▶ 2. Quelle devrait être la taille minimum de l’échantillon pour qu’un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 ?

Partie C

La durée de vie, en années, d’un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ (où λ est un nombre réel strictement positif).

On note f la fonction densité associée à la variable aléatoire T.

On rappelle que :

pour tout nombre réel x  0, f(x= λeλx 

pour tout nombre réel a  0, P(T  a= 0af(x)dx.

1. La courbe représentative C de la fonction f est donnée ci-dessous.

matT_1606_07_00C_01

a) Interpréter graphiquement P( a) où a > 0.

b) Montrer que pour tout nombre réel  0, P( t= 1 − eλt.

c) En déduire que limt+P(Tt)=1.

▶ 2. On suppose que P( 7) = 0,5 . Déterminer λ à 10–3 près.

▶ 3. Dans cette question, on prend λ = 0,099 et on arrondit les résultats des probabilités au centième.

a) On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.

Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans.

b) On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans. Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.

c) Donner l’espérance mathématique E(T) de la variable aléatoire T à l’unité près. Interpréter ce résultat.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Probabilités • Intervalle de confiance • Loi exponentielle.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Arbre pondéré  E37  Partie A, 1.

Probabilités  E34 • E35  Partie A, 1. et 2.  Partie C, 3. a)

Intervalle de confiance  E44  Partie B

Loi exponentielle  E40a • E40c • E41c • E42  Partie C

Intégration  E11a • E11d • E13 • E14  Partie C, 1. a) et 1. b)

Fonction exponentielle  E8a • E8c • E9a  Partie C, 1. c) et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

 2. Remarquez que la probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle.

Partie B

 1. Identifiez la taille de l’échantillon n et la fréquence f du caractère étudié sur cet échantillon. Constatez que les conditions sur n et f sont vérifiées pour définir l’intervalle de confiance correspondant.

Partie C

 3. b) Pensez à la propriété de durée de vie sans vieillissement.

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