Fabrication d’un composant électronique

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2016

Exercice 1 • 6 points

Fabrication d’un composant électronique

Partie A

Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées. La chaîne A produit 40 % des composants et la chaîne B produit le reste.

Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur.

En sortie de chaîne A, 20 % des composants présentent ce défaut alors qu’en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5 %.

On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note :

A l’événement : « le composant provient de la chaîne A » ;

B l’événement : « le composant provient de la chaîne B » ;

S l’événement : « le composant est sans défaut »

▶ 1. Montrer que la probabilité de l’événement S est P(S) = 0,89.

2. Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu’il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à 10–2 près.

Partie B

Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d’augmenter la proportion p de composants sans défaut.

Afin d’estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de 400 composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A.

Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de 0,92.

▶ 1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance de 95 %.

▶ 2. Quelle devrait être la taille minimum de l’échantillon pour qu’un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 ?

Partie C

La durée de vie, en années, d’un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ (où λ est un nombre réel strictement positif).

On note f la fonction densité associée à la variable aléatoire T.

On rappelle que :

pour tout nombre réel x  0, f(x= λeλx ;

pour tout nombre réel a  0, P(T  a= 0af(x)dx.

1. La courbe représentative C de la fonction f est donnée ci-dessous.

matT_1606_07_00C_01

a) Interpréter graphiquement P( a) où a > 0.

b) Montrer que pour tout nombre réel  0, P( t= 1 − eλt.

c) En déduire que limt+P(Tt)=1.

▶ 2. On suppose que P( 7) = 0,5 . Déterminer λ à 10–3 près.

▶ 3. Dans cette question, on prend λ = 0,099 et on arrondit les résultats des probabilités au centième.

a) On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.

Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans.

b) On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans. Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.

c) Donner l’espérance mathématique E(T) de la variable aléatoire T à l’unité près. Interpréter ce résultat.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Probabilités • Intervalle de confiance • Loi exponentielle.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Arbre pondéré  E37  Partie A, 1.

Probabilités  E34 • E35  Partie A, 1. et 2. ; Partie C, 3. a)

Intervalle de confiance  E44  Partie B

Loi exponentielle  E40a • E40c • E41c • E42  Partie C

Intégration  E11a • E11d • E13 • E14  Partie C, 1. a) et 1. b)

Fonction exponentielle  E8a • E8c • E9a  Partie C, 1. c) et 2.

Nos coups de pouce

Partie A

 2. Remarquez que la probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle.

Partie B

 1. Identifiez la taille de l’échantillon n et la fréquence f du caractère étudié sur cet échantillon. Constatez que les conditions sur n et f sont vérifiées pour définir l’intervalle de confiance correspondant.

Partie C

 3. b) Pensez à la propriété de durée de vie sans vieillissement.

Corrigé

Corrigé

partie a

 1. Calculer la probabilité d’un événement à l’aide d’un arbre

Traduisons la situation décrite dans l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

La chaîne A produit 40 % des composants fabriqués dans cette usine. La probabilité que l’événement A se réalise est alors P(A)=0,40.

La chaîne B produit donc 60 % des composants fabriqués dans cette usine. La probabilité que l’événement B se réalise est ainsi P(B)=0,60.

20 % des composants, en sortie de la chaîne A, présentent le défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur.

Notez bien

La somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud est égale à 1.

La probabilité que l’événement S¯ (événement contraire de l’événement S) se réalise sachant que l’événement A est réalisé, est alors PA(S¯)=0,20. Similairement, comme 5 % des composants, en sortie de la chaîne B, présentent le défaut, nous avons PB(S¯)=0,05.

Nous pouvons ainsi représenter la situation à l’aide de l’arbre pondéré suivant :

matT_1606_07_00C_03

Par la formule des probabilités totales, il en découle que :

P(S)=P(AS)+P(BS)        =P(A)×PA(S)+P(B)×PB(S)        =0,40×0,80+0,60×0,95        =0,89.

La probabilité de l’événement S est égale à 0,89.

 2. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité demandée, probabilité conditionnelle, se note PS(A). Comme, d’après la question précédente, P(S)=0,890, il s’ensuit, par définition, que :

PS(A)=P(AS)P(S)=P(A)×PA(S)P(S)=0,40×0,800,89=32890,36.

Sachant que le composant ne présente pas de défaut, la probabilité qu’il provienne de la chaîne A est environ 0,36.

partie b

 1. Déterminer un intervalle de confiance

400 composants ont été prélevés de manière aléatoire parmi ceux fabriqués dans la chaîne A. La taille de l’échantillon considéré est alors n=400. Parmi les 400 composants prélevés, la fréquence observée de composants sans défaut est f=0,92. Comme n=40030,n×f=3685 et n×(1f)=325, les conditions sur n et f sont vérifiées et l’intervalle de confiance est défini par :

[f1n ; f+1n]=[0,921400 ; 0,92+1400]=[0,87 ; 0,97].

Remarque

Au niveau de confiance 0,95, la proportion de composants sans défaut fabriqués par la chaîne A se situerait entre 87 % et 97 %.

Un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance 0,95 est [0,87 ; 0,97].

 2. Déterminer la taille d’un échantillon sous contrainte

Dans cette question, la taille de l’échantillon n n’est pas nécessairement égale à 400 contrairement à la fréquence f qui est encore égale à 0,92. Sous l’hypothèse que les conditions sur n et f sont vérifiées, l’intervalle de confiance est défini par :

[f1n ; f+1n]=[0,921n ; 0,92+1n].

L’amplitude de cet intervalle de confiance est alors :

(0,92+1n)(0,921n)=2n.

La contrainte « un tel intervalle de confiance a une amplitude maximum de 0,02 » se traduit, par suite, par l’inéquation 2n0,02.

Or, par équivalence, nous avons :

2n0,024n0,022n410,022n40,0004n10000.

La taille minimum de l’échantillon pour qu’un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 est 10 000.

partie c

 1. a) Interpréter graphiquement une probabilité

Soit a un réel strictement positif. Par le rappel, nous avons P(Ta)=0af(x)dxf est la densité associée à la variable aléatoire T suivant la loi exponentielle de paramètre λ>0, fonction continue et positive sur l’intervalle [0 ; +[ donc sur l’intervalle [0 ; a].

La probabilité P(Ta) est alors l’aire en unités d’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à la variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = a.

b) Établir une égalité

Notez bien

Une primitive de la densité associée à une loi exponentielle de paramètre λ>0 est : xeλx.

e0=1.

Soit t un nombre réel positif. Par les rappels, nous avons :

P(Tt)=2erappel     a=t0 0tf(x)dx=1errappel     x0 0tλeλxdx.

Or, une primitive de la fonction xλeλx sur , donc sur [0 ; t], étant xeλx, nous en déduisons que :

P(Tt)=0tλeλxdx=[eλx]0t=eλ×t(eλ×0)=1eλt.

Pour tout nombre réel t0, P(Tt)=1eλt.

c) Calculer une limite

Quand t tend vers + , λt tend vers  ,λ étant un nombre réel strictement positif. Par suite, limt+eλt=limtet=0. Il en découle par différence et à l’aide de l’égalité établie à la question précédente que limt+P(Tt)=10=1.

 2. Déterminer le paramètre d’une loi exponentielle

Notez bien

Pour tout réel x, pour tout réel y>0,ex=yx=ln(y).

L’énoncé donne P(T7)=0,5. Par le résultat établi à la question 1. b) de cette partie en prenant t=70, cette égalité s’écrit de la manière suivante : 1eλ×7=0,5.

Or, par équivalence, nous avons :

1eλ×7=0,5 e7λ=0,57λ=ln(0,5)λ=ln(0,5)70,099.

La valeur du paramètre λ arrondie au millième est 0,099.

 3. a) Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle

La probabilité demandée se note P(T5). Les événements {T5} et {T<5} étant contraires, nous avons : P(T5)=1P(T<5)=    loicontinue1P(T5). Par le résultat établi à la question 1. b) de cette partie en prenant t=50, nous en déduisons que P(T5)=1(1e0,099×5)=e0,099×5=e0,4950,61.

La probabilité qu’un composant choisi au hasard dans la production de cette usine fonctionne au moins cinq ans est environ 0,61.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle

La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle : probabilité que le composant choisi au hasard ait une durée de vie supérieure à 7 ans sachant que ce composant a déjà fonctionné deux ans. Elle se note P(T2)(T7). Comme la variable aléatoire T suit une loi exponentielle et comme une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement, nous avons :

P(T2)(T7)=P(T2)(T5+2)=P(T5).

Or, d’après la question précédente, P(T5)0,61.

La probabilité qu’un composant, choisi au hasard parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de deux ans, ait une durée de vie supérieure à sept ans, est environ 0,61.

c) Calculer une espérance dans le cadre d’une loi exponentielle

Nous avons E(T)=1λ=10,09910.

L’espérance de la variable T est 10 (valeur arrondie à l’unité près). Par suite, si nous considérons un grand nombre de composants électroniques, la durée de vie moyenne d’un composant électronique fabriqué dans cette usine est de 10 années.