Corrigé

partie a

▶ 1. Calculer la probabilité d'un événement à l'aide d'un arbre

Traduisons la situation décrite dans l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

La chaîne A produit 40 % des composants fabriqués dans cette usine. La probabilité que l'événement A se réalise est alors P(A)=0,40.

La chaîne B produit donc 60 % des composants fabriqués dans cette usine. La probabilité que l'événement B se réalise est ainsi P(B)=0,60.

20 % des composants, en sortie de la chaîne A, présentent le défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur.

La probabilité que l'événement S¯ (événement contraire de l'événement S) se réalise sachant que l'événement A est réalisé, est alors PA(S¯)=0,20. Similairement, comme 5 % des composants, en sortie de la chaîne B, présentent le défaut, nous avons PB(S¯)=0,05.

Nous pouvons ainsi représenter la situation à l'aide de l'arbre pondéré suivant :

Par la formule des probabilités totales, il en découle que :

P(S)=P(A∩S)+P(B∩S)=P(A)×PA(S)+P(B)×PB(S)=0,40×0,80+0,60×0,95=0,89.

La probabilité de l'événement S est égale à 0,89.

▶ 2. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité demandée, probabilité conditionnelle, se note PS(A). Comme, d'après la question précédente, P(S)=0,89≠0, il s'ensuit, par définition, que :

PS(A)=P(A∩S)P(S)=P(A)×PA(S)P(S)=0,40×0,800,89=3289≈0,36.

Sachant que le composant ne présente pas de défaut, la probabilité qu'il provienne de la chaîne A est environ 0,36.

partie b

▶ 1. Déterminer un intervalle de confiance

400 composants ont été prélevés de manière aléatoire parmi ceux fabriqués dans la chaîne A. La taille de l'échantillon considéré est alors n=400. Parmi les 400 composants prélevés, la fréquence observée de composants sans défaut est f=0,92. Comme n=400≥30,n×f=368≥5 et n×(1−f)=32≥5, les conditions sur n et f sont vérifiées et l'intervalle de confiance est défini par :

[f−1nf+1n]=[0,92−14000,92+1400]=[0,870,97].

Un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance 0,95 est [0,870,97].

▶ 2. Déterminer la taille d'un échantillon sous contrainte

Dans cette question, la taille de l'échantillon n n'est pas nécessairement égale à 400 contrairement à la fréquence f qui est encore égale à 0,92. Sous l'hypothèse que les conditions sur n et f sont vérifiées, l'intervalle de confiance est défini par :

[f−1nf+1n]=[0,92−1n0,92+1n].

L'amplitude de cet intervalle de confiance est alors :

(0,92+1n)−(0,92−1n)=2n.

La contrainte « un tel intervalle de confiance a une amplitude maximum de 0,02 » se traduit, par suite, par l'inéquation 2n≤0,02.

Or, par équivalence, nous avons :

2n≤0,02⇔4n≤0,022⇔n4≥10,022⇔n≥40,0004⇔n≥10000.

La taille minimum de l'échantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 est 10 000.

partie c

▶ 1. a) Interpréter graphiquement une probabilité

Soit a un réel strictement positif. Par le rappel, nous avons P(T≤a)=∫0af(x)dx où f est la densité associée à la variable aléatoire T suivant la loi exponentielle de paramètre λ>0, fonction continue et positive sur l'intervalle [0+∞[ donc sur l'intervalle [0a].

La probabilité P(T≤a) est alors l'aire en unités d'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à la variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = a.

b) Établir une égalité

Soit t un nombre réel positif. Par les rappels, nous avons :

P(T≤t)=2erappela=t≥0∫0tf(x)dx=1errappelx≥0∫0tλe−λxdx.

Or, une primitive de la fonction x↦λe−λx sur ℝ, donc sur [0t], étant x↦−e−λx, nous en déduisons que :

P(T≤t)=∫0tλe−λxdx=[−e−λx]0t=−e−λ×t−(−e−λ×0)=1−e−λt.

Pour tout nombre réel t≥0, P(T≤t)=1−e−λt.

c) Calculer une limite

Quand t tend vers +∞,−λt tend vers −∞,λ étant un nombre réel strictement positif. Par suite, limt→+∞e−λt=limt′→−∞et′=0. Il en découle par différence et à l'aide de l'égalité établie à la question précédente que limt→+∞P(T≤t)=1−0=1.

▶ 2. Déterminer le paramètre d'une loi exponentielle

L'énoncé donne P(T≤7)=0,5. Par le résultat établi à la question 1. b) de cette partie en prenant t=7≥0, cette égalité s'écrit de la manière suivante : 1−e−λ×7=0,5.

Or, par équivalence, nous avons :

1−e−λ×7=0,5⇔e−7λ=0,5⇔−7λ=ln(0,5)⇔λ=−ln(0,5)7≈0,099.

La valeur du paramètre λ arrondie au millième est 0,099.

▶ 3. a) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle

La probabilité demandée se note P(T≥5). Les événements {T≥5} et {T<mn>5</mn>} étant contraires, nous avons : Par le résultat établi à la question 1. b) de cette partie en prenant t=5≥0, nous en déduisons que P(T≥5)=1−(1−e−0,099×5)=e−0,099×5=e−0,495≈0,61.

La probabilité qu'un composant choisi au hasard dans la production de cette usine fonctionne au moins cinq ans est environ 0,61.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle

La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle : probabilité que le composant choisi au hasard ait une durée de vie supérieure à 7 ans sachant que ce composant a déjà fonctionné deux ans. Elle se note P(T≥2)(T≥7). Comme la variable aléatoire T suit une loi exponentielle et comme une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement, nous avons :

P(T≥2)(T≥7)=P(T≥2)(T≥5+2)=P(T≥5).

Or, d'après la question précédente, P(T≥5)≈0,61.

La probabilité qu'un composant, choisi au hasard parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de deux ans, ait une durée de vie supérieure à sept ans, est environ 0,61.

c) Calculer une espérance dans le cadre d'une loi exponentielle

Nous avons E(T)=1λ=10,099≈10.

L'espérance de la variable T est 10 (valeur arrondie à l'unité près). Par suite, si nous considérons un grand nombre de composants électroniques, la durée de vie moyenne d'un composant électronique fabriqué dans cette usine est de 10 années.