Fabrication de parasols et coût unitaire minimal

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient

 

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Liban • Mai 2015

Exercice 2 • 5 points

Une entreprise artisanale produit des parasols. Elle en fabrique entre 1 à 18 par jour. Le coût de fabrication unitaire est modélisé par une fonction 4457808-Eqn26 définie et dérivable sur l’intervalle 4457808-Eqn27.

On note 4457808-Eqn28 le nombre de parasols produits par jour et 4457808-Eqn29 le coût de fabrication unitaire exprimé en euros.

Dans le repère orthogonal ci-après, on a tracé la courbe représentative 4457808-Eqn30 de la fonction 4457808-Eqn31 et la tangente 4457808-Eqn32 à la courbe 4457808-Eqn33 au point 4457808-Eqn34. Le point 4457808-Eqn35 appartient à la tangente 4457808-Eqn36.

On admet que 4457808-Eqn37 pour tout 4457808-Eqn38 appartenant à l’intervalle 4457808-Eqn39.

matT_1505_09_01C_03

 1. a) Déterminer graphiquement la valeur de 4457808-Eqn40 en expliquant la démarche utilisée. (0,5 point)

b) Déterminer l’expression de 4457808-Eqn41 pour tout 4457808-Eqn42 appartenant à l’intervalle 4457808-Eqn43. (0,5 point)

c) Expliquer comment retrouver la réponse obtenue dans la question 1. a). (0,5 point)

 2. a) Montrer que 4457808-Eqn44 est équivalent à 4457808-Eqn45. (0,5 point)

b) En déduire le signe de 4457808-Eqn46 et le tableau de variations de 4457808-Eqn47 sur 4457808-Eqn48. Les valeurs seront arrondies au centime d’euro dans le tableau de variations. (1 point)

 3. Déterminer, par le calcul, le nombre de parasols que doit produire l’entreprise pour que le coût de fabrication unitaire soit minimal. (0,5 point)

 4. a) Montrer que la fonction 4457808-Eqn49 définie par :

4457808-Eqn50

est une primitive de 4457808-Eqn51 sur l’intervalle 4457808-Eqn52. (0,5 point)

b) Déterminer la valeur exacte de l’intégrale 4457808-Eqn53. (0,5 point)

c) Interpréter dans le contexte de l’exercice la valeur de 4457808-Eqn54. (0,5 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Variations d’une fonction • Primitive • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction.

Les conseils du correcteur

 1. a) 4457808-Eqn149 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de 4457808-Eqn150 au point d’abscisse 5.

 2. a) Utilisez la fonction logarithme népérien, qui est strictement croissante sur 4457808-Eqn151.

 3. Le nombre de parasols produits chaque jour est un nombre entier.

 4. a) 4457808-Eqn152 est une primitive de 4457808-Eqn153 si et seulement si 4457808-Eqn154 est la dérivée de 4457808-Eqn155.

b) Utilisez la fonction 4457808-Eqn156 de la question précédente.