Fabrication de parasols et coût unitaire minimal

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient

 

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Liban • Mai 2015

Exercice 2 • 5 points

Une entreprise artisanale produit des parasols. Elle en fabrique entre 1 à 18 par jour. Le coût de fabrication unitaire est modélisé par une fonction 4457808-Eqn26 définie et dérivable sur l’intervalle 4457808-Eqn27.

On note 4457808-Eqn28 le nombre de parasols produits par jour et 4457808-Eqn29 le coût de fabrication unitaire exprimé en euros.

Dans le repère orthogonal ci-après, on a tracé la courbe représentative 4457808-Eqn30 de la fonction 4457808-Eqn31 et la tangente 4457808-Eqn32 à la courbe 4457808-Eqn33 au point 4457808-Eqn34. Le point 4457808-Eqn35 appartient à la tangente 4457808-Eqn36.

On admet que 4457808-Eqn37 pour tout 4457808-Eqn38 appartenant à l’intervalle 4457808-Eqn39.

matT_1505_09_01C_03

 1. a) Déterminer graphiquement la valeur de 4457808-Eqn40 en expliquant la démarche utilisée. (0,5 point)

b) Déterminer l’expression de 4457808-Eqn41 pour tout 4457808-Eqn42 appartenant à l’intervalle 4457808-Eqn43. (0,5 point)

c) Expliquer comment retrouver la réponse obtenue dans la question 1. a). (0,5 point)

 2. a) Montrer que 4457808-Eqn44 est équivalent à 4457808-Eqn45. (0,5 point)

b) En déduire le signe de 4457808-Eqn46 et le tableau de variations de 4457808-Eqn47 sur 4457808-Eqn48. Les valeurs seront arrondies au centime d’euro dans le tableau de variations. (1 point)

 3. Déterminer, par le calcul, le nombre de parasols que doit produire l’entreprise pour que le coût de fabrication unitaire soit minimal. (0,5 point)

 4. a) Montrer que la fonction 4457808-Eqn49 définie par :

4457808-Eqn50

est une primitive de 4457808-Eqn51 sur l’intervalle 4457808-Eqn52. (0,5 point)

b) Déterminer la valeur exacte de l’intégrale 4457808-Eqn53. (0,5 point)

c) Interpréter dans le contexte de l’exercice la valeur de 4457808-Eqn54. (0,5 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Variations d’une fonction • Primitive • Intégrale, calcul d’aire • Valeur moyenne d’une fonction.

Les conseils du correcteur

 1. a) 4457808-Eqn149 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de 4457808-Eqn150 au point d’abscisse 5.

 2. a) Utilisez la fonction logarithme népérien, qui est strictement croissante sur 4457808-Eqn151.

 3. Le nombre de parasols produits chaque jour est un nombre entier.

 4. a) 4457808-Eqn152 est une primitive de 4457808-Eqn153 si et seulement si 4457808-Eqn154 est la dérivée de 4457808-Eqn155.

b) Utilisez la fonction 4457808-Eqn156 de la question précédente.

Corrigé

Corrigé

 1. a) Déterminer graphiquement un nombre dérivé

4457808-Eqn194 est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 5 à la courbe représentative de 4457808-Eqn195 ; cette tangente est la droite 4457808-Eqn196, c’est-à-dire la droite 4457808-Eqn197.

Son coefficient directeur est 4457808-Eqn198, donc :

4457808-Eqn199

b) Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout 4457808-Eqn200 appartenant à l’intervalle 4457808-Eqn201 :

4457808-Eqn202

4457808-Eqn203

c) Calculer un nombre dérivé

D’après le résultat de la question précédente :

4457808-Eqn204

4457808-Eqn205

 2. a) Résoudre une inéquation comportant une exponentielle

Notez bien

Pour tout réel 4457808-Eqn206 strictement positif : 4457808-Eqn207.

4457808-Eqn208

4457808-Eqn211

b) Étudier les variations d’une fonction

D’après la question précédente :

4457808-Eqn212 si 4457808-Eqn213 ;

4457808-Eqn214 ;

4457808-Eqn215 si 4457808-Eqn216.

On en déduit que 4457808-Eqn217 est strictement décroissante sur 4457808-Eqn218 et strictement croissante sur 4457808-Eqn219.

matT_1505_09_01C_04bis

4457808-Eqn228;

4457808-Eqn229.

3. Déterminer une production entraînant un coût de fabrication unitaire minimal

4457808-Eqn230 représente le coût de fabrication unitaire pour 4457808-Eqn231 parasols produits par jour. 4457808-Eqn232 atteint son minimum en 4457808-Eqn233

Or le nombre de parasols produits est entier et 4457808-Eqn234

4457808-Eqn235.

4457808-Eqn236, donc pour que le coût de fabrication unitaire soit minimal, l’entreprise doit produire chaque jour 12 parasols.

 4. a) Montrer qu’une fonction donnée est une primitive d’une autre fonction

La fonction 4457808-Eqn237 définie sur 4457808-Eqn238 par 4457808-Eqn239 est dérivable sur 4457808-Eqn240 et, pour tout 4457808-Eqn241 dans cet intervalle :

4457808-Eqn242

La fonction 4457808-Eqn243 est donc une primitive de 4457808-Eqn244 sur l’intervalle 4457808-Eqn245.

b) Calculer une intégrale

4457808-Eqn246

4457808-Eqn247

c) Reconnaître et interpréter la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

4457808-Eqn248

4457808-Eqn249 est donc la valeur moyenne de 4457808-Eqn250 sur l’intervalle 4457808-Eqn251.

4457808-Eqn252 représente le coût de fabrication unitaire moyen lorsque l’entreprise produit entre 5 et 15 parasols par jour.