Une entreprise produit en grande série des plaques métalliques rectangulaires pour l’industrie automobile.

Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir à .

On note l’événement «  une plaque prélevée au hasard dans la production d’une journée est défectueuse  ».

On suppose que .

On prélève au hasard 50 plaques dans la production de la journée pour vérification. La production est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 plaques.

On considère la variable aléatoire qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de plaques de ce prélèvement qui sont défectueuses.

>  1.  Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. (0,5 point)

>  2.  Calculer les probabilités (0,75 point)

>  3.  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux plaques soient défectueuses. (0,75 point)

Une plaque de ce type est conforme pour la longueur lorsque sa longueur , exprimée en millimètres, appartient à l’intervalle [548  552].

Une plaque de ce type est conforme pour la largeur lorsque sa largeur , exprimée en millimètres, appartient à l’intervalle [108  112].

>  1.  On note la variable aléatoire qui, à chaque plaque de ce type prélevée au hasard dans un stock important, associe sa longueur . On suppose que la variable aléatoire suit la loi normale de moyenne 550 et d’écart type 1.

Calculer . (1 point)

>  2.  On note la variable aléatoire qui, à chaque plaque de ce type prélevée au hasard dans le stock, associe sa largeur . On admet que

On suppose que les variables aléatoires et sont indépendantes.

On prélève une plaque au hasard dans le stock. Déterminer la probabilité qu’elle soit conforme pour la longueur et conforme pour la largeur. (1 point)

Dans cette partie on considère une grande quantité de plaques devant être livrées à une chaîne de montage de véhicules électriques.

>  1.  On considère un échantillon de 100 plaques prélevées au hasard dans cette livraison.

On constate que, sur les 100 plaques prélevées, 94 plaques sont sans défaut.

On appelle la proportion (inconnue) de plaques sans défaut dans cette livraison.

Déterminer un intervalle de confiance de la proportion avec un niveau de confiance de plus de 95  %. (1 point)

>  2.  Déterminer le nombre minimal de plaques à prélever pour obtenir un intervalle de confiance de la proportion avec un niveau de confiance de plus de 95  % dont l’amplitude est inférieure ou égale à 0,08. (1 point)