Fabrication de plaques métalliques

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intervalle de fluctuation - Estimation
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
&nbsp
Fabrication de plaques m&eacute talliques

Probabilit&eacute s et statistiques &bull Fluctuation. Estimation

Corrig&eacute

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Ens. sp&eacute cifique

matT_1200_00_19C

Sujet in&eacute dit

Exercice &bull 6 points

Les trois parties de cet exercice sont ind&eacute pendantes.

Une entreprise produit en grande s&eacute rie des plaques m&eacute talliques rectangulaires pour l&rsquo industrie automobile.

Dans ce qui suit, les r&eacute sultats approch&eacute s sont &agrave arrondir &agrave .

Partie A  : Loi binomiale

On note l&rsquo &eacute v&eacute nement &laquo   une plaque pr&eacute lev&eacute e au hasard dans la production d&rsquo une journ&eacute e est d&eacute fectueuse  &raquo .

On suppose que .

On pr&eacute l&egrave ve au hasard 50 plaques dans la production de la journ&eacute e pour v&eacute rification. La production est assez importante pour que l&rsquo on puisse assimiler ce pr&eacute l&egrave vement &agrave un tirage avec remise de 50 plaques.

On consid&egrave re la variable al&eacute atoire qui, &agrave tout pr&eacute l&egrave vement ainsi d&eacute fini, associe le nombre de plaques de ce pr&eacute l&egrave vement qui sont d&eacute fectueuses.

&gt 1.  Justifier que la variable al&eacute atoire suit une loi binomiale dont on d&eacute terminera les param&egrave tres. (0,5 point)

&gt 2.  Calculer les probabilit&eacute s (0,75 point)

&gt 3.  Calculer la probabilit&eacute que, dans un tel pr&eacute l&egrave vement, au plus deux plaques soient d&eacute fectueuses. (0,75 point)

Partie B  : Loi normale

Une plaque de ce type est conforme pour la longueur lorsque sa longueur , exprim&eacute e en millim&egrave tres, appartient &agrave l&rsquo intervalle [548  552].

Une plaque de ce type est conforme pour la largeur lorsque sa largeur , exprim&eacute e en millim&egrave tres, appartient &agrave l&rsquo intervalle [108  112].

&gt 1.  On note la variable al&eacute atoire qui, &agrave chaque plaque de ce type pr&eacute lev&eacute e au hasard dans un stock important, associe sa longueur . On suppose que la variable al&eacute atoire suit la loi normale de moyenne 550 et d&rsquo &eacute cart type 1.

Calculer . (1 point)

&gt 2.  On note la variable al&eacute atoire qui, &agrave chaque plaque de ce type pr&eacute lev&eacute e au hasard dans le stock, associe sa largeur . On admet que

On suppose que les variables al&eacute atoires et sont ind&eacute pendantes.

On pr&eacute l&egrave ve une plaque au hasard dans le stock. D&eacute terminer la probabilit&eacute qu&rsquo elle soit conforme pour la longueur et conforme pour la largeur. (1 point)

Partie C  : Intervalle de confiance

Dans cette partie on consid&egrave re une grande quantit&eacute de plaques devant &ecirc tre livr&eacute es &agrave une cha&icirc ne de montage de v&eacute hicules &eacute lectriques.

&gt 1.  On consid&egrave re un &eacute chantillon de 100 plaques pr&eacute lev&eacute es au hasard dans cette livraison.

On constate que, sur les 100 plaques pr&eacute lev&eacute es, 94 plaques sont sans d&eacute faut.

On appelle la proportion (inconnue) de plaques sans d&eacute faut dans cette livraison.

D&eacute terminer un intervalle de confiance de la proportion avec un niveau de confiance de plus de 95  %. (1 point)

&gt 2.  D&eacute terminer le nombre minimal de plaques &agrave pr&eacute lever pour obtenir un intervalle de confiance de la proportion avec un niveau de confiance de plus de 95  % dont l&rsquo amplitude est inf&eacute rieure ou &eacute gale &agrave 0,08. (1 point)

Dur&eacute e conseill&eacute e  : 45 min.

Les th&egrave mes en jeu

Loi de probabilit&eacute &bull Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt     1.  Il s&rsquo agit d&rsquo un sch&eacute ma de Bernoulli. X suit une loi binomiale.

&gt     3.  &laquo   Au plus deux  &raquo signifie &laquo   deux ou moins  &raquo , soit &laquo   aucune, une seule ou deux  &raquo &hellip

Partie B

&gt     1.  Exploitez les r&eacute sultats du cours sur la loi normale. On sait que, si suit la loi normale , alors .

Partie C

Un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de plus de 95  % de la proportion est , o&ugrave est la fr&eacute quence observ&eacute e sur un &eacute chantillon de taille .