Probabilité s et statistiques &bull Fluctuation. Estimation
Corrigé
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Ens. spé cifique
matT_1200_00_19C
Sujet iné dit
Exercice &bull 6 points
Une entreprise produit en grande sé rie des plaques mé talliques rectangulaires pour l&rsquo industrie automobile.
Dans ce qui suit, les ré sultats approché s sont à arrondir à 
.
Partie A : Loi binomiale
On note 
l&rsquo é vé nement « une plaque pré levé e au hasard dans la production d&rsquo une journé e est dé fectueuse » .
On suppose que 
.
On pré lè ve au hasard 50 plaques dans la production de la journé e pour vé rification. La production est assez importante pour que l&rsquo on puisse assimiler ce pré lè vement à un tirage avec remise de 50 plaques.
On considè re la variable alé atoire 
qui, à tout pré lè vement ainsi dé fini, associe le nombre de plaques de ce pré lè vement qui sont dé fectueuses.
suit une loi binomiale dont on dé terminera les paramè tres. (0,5 point)
(0,75 point)
Partie B : Loi normale
Une plaque de ce type est conforme pour la longueur lorsque sa longueur 
, exprimé e en millimè tres, appartient à l&rsquo intervalle [548 552].
Une plaque de ce type est conforme pour la largeur lorsque sa largeur 
, exprimé e en millimè tres, appartient à l&rsquo intervalle [108 112].
la variable alé atoire qui, à chaque plaque de ce type pré levé e au hasard dans un stock important, associe sa longueur 
. On suppose que la variable alé atoire 
suit la loi normale de moyenne 550 et d&rsquo é cart type 1.
Calculer 
. (1 point)
la variable alé atoire qui, à chaque plaque de ce type pré levé e au hasard dans le stock, associe sa largeur 
. On admet que 
On suppose que les variables alé atoires 
et 
sont indé pendantes.
On pré lè ve une plaque au hasard dans le stock. Dé terminer la probabilité qu&rsquo elle soit conforme pour la longueur et conforme pour la largeur. (1 point)
Partie C : Intervalle de confiance
Dans cette partie on considè re une grande quantité de plaques devant ê tre livré es à une chaî ne de montage de vé hicules é lectriques.
On constate que, sur les 100 plaques pré levé es, 94 plaques sont sans dé faut.
On appelle 
la proportion (inconnue) de plaques sans dé faut dans cette livraison.
Dé terminer un intervalle de confiance de la proportion 
avec un niveau de confiance de plus de 95 %. (1 point)
avec un niveau de confiance de plus de 95 % dont l&rsquo amplitude est infé rieure ou é gale à 0,08. (1 point)
Duré e conseillé e : 45 min.
Les thè mes en jeu
Loi de probabilité &bull Intervalle de confiance.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
suit la loi normale 
, alors 
.
Partie C
Un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de plus de 95 % de la proportion 
est 
, où 
est la fré quence observé e sur un é chantillon de taille 
.
Les trois parties de cet exercice sont indé pendantes.