Probabilités et statistiques • Fluctuation. Estimation
Corrigé
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Ens. spécifique
matT_1200_00_19C
Sujet inédit
Exercice • 6 points
Une entreprise produit en grande série des plaques métalliques rectangulaires pour l'industrie automobile.
Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir à 
.
Partie A : Loi binomiale
On note 
l'événement « une plaque prélevée au hasard dans la production d'une journée est défectueuse ».
On suppose que 
.
On prélève au hasard 50 plaques dans la production de la journée pour vérification. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 plaques.
On considère la variable aléatoire 
qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de plaques de ce prélèvement qui sont défectueuses.
suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. (0,5 point)
(0,75 point)
Partie B : Loi normale
Une plaque de ce type est conforme pour la longueur lorsque sa longueur 
, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [548 552].
Une plaque de ce type est conforme pour la largeur lorsque sa largeur 
, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [108 112].
la variable aléatoire qui, à chaque plaque de ce type prélevée au hasard dans un stock important, associe sa longueur 
. On suppose que la variable aléatoire 
suit la loi normale de moyenne 550 et d'écart type 1.
Calculer 
. (1 point)
la variable aléatoire qui, à chaque plaque de ce type prélevée au hasard dans le stock, associe sa largeur 
. On admet que 
On suppose que les variables aléatoires 
et 
sont indépendantes.
On prélève une plaque au hasard dans le stock. Déterminer la probabilité qu'elle soit conforme pour la longueur et conforme pour la largeur. (1 point)
Partie C : Intervalle de confiance
Dans cette partie on considère une grande quantité de plaques devant être livrées à une chaîne de montage de véhicules électriques.
On constate que, sur les 100 plaques prélevées, 94 plaques sont sans défaut.
On appelle 
la proportion (inconnue) de plaques sans défaut dans cette livraison.
Déterminer un intervalle de confiance de la proportion 
avec un niveau de confiance de plus de 95 %. (1 point)
avec un niveau de confiance de plus de 95 % dont l'amplitude est inférieure ou égale à 0,08. (1 point)
Durée conseillée : 45 min.
Les thèmes en jeu
Loi de probabilité • Intervalle de confiance.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
suit la loi normale 
, alors 
.
Partie C
Un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de plus de 95 % de la proportion 
est 
, où 
est la fréquence observée sur un échantillon de taille 
.
Partie A
> 1. Loi suivie par X
On considère qu'il y a répétition de 50 expériences identiques et indépendantes (puisque la production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise), il s'agit donc d'un schéma de Bernoulli on appelle « succès » l'événement « la plaque est défectueuse », la probabilité de succès est 
.
.
> 2. Calcul de P(X = 0) et P(X = 1)
est la probabilité que, parmi les 50 plaques prélevées, aucune plaque ne soit défectueuse.
Donc 
.
est la probabilité que, parmi les 50 plaques prélevées, une plaque exactement soit défectueuse. Donc :
.
> 3. Probabilité qu'au plus deux plaques soient défectueuses
La probabilité qu'il y ait au plus deux plaques défectueuses parmi les 50 prélevées est 
, soit 
.
Les probabilités 
et 
ont déjà été calculées.
D'où 
.
près.
Partie B
> 1. Calcul de p(548 ≤ L1 ≤ 552)
On appelle 
et 
respectivement l'espérance et l'écart type de la loi normale de la variable aléatoire 
.
.
> 2. Probabilité qu'une plaque soit conforme pour la longueur et pour la largeur
Puisque les variables aléatoires 
et 
sont supposées indépendantes, la probabilité qu'une plaque prélevée au hasard soit conforme pour la longueur et la largeur est
Partie C
> 1. Intervalle de confiance de p
Notez bien
Dans l'échantillon considéré, 94 % des plaques sont sans défaut.
Dans cette question, 
(taille de l'échantillon) et la fréquence observée sur un échantillon de taille 100 est 
Un intervalle de confiance de la proportion (inconnue) 
de plaques sans défaut dans la livraison avec un niveau de confiance de plus de 95 % est donc :
(La proportion ne peut pas dépasser 1)
> 2. Nombre minimal de plaques à prélever
L'amplitude de l'intervalle de confiance de la proportion 
avec un niveau de confiance de plus de 95 % déterminé à partir d'un échantillon de taille 
est 
.
Si l'on souhaite un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 0,08, on doit donc avoir 
.
Cette inégalité équivaut à 
.
Or 
et 
.
Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.