Fabrication de plaques métalliques

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intervalle de fluctuation - Estimation
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Fabrication de plaques métalliques

Probabilités et statistiques • Fluctuation. Estimation

Corrigé

41

Ens. spécifique

matT_1200_00_19C

Sujet inédit

Exercice • 6 points

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Une entreprise produit en grande série des plaques métalliques rectangulaires pour l’industrie automobile.

Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir à .

Partie A : Loi binomiale

On note l’événement « une plaque prélevée au hasard dans la production d’une journée est défectueuse ».

On suppose que .

On prélève au hasard 50 plaques dans la production de la journée pour vérification. La production est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 plaques.

On considère la variable aléatoire qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de plaques de ce prélèvement qui sont défectueuses.

>1. Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. (0,5 point)

>2. Calculer les probabilités (0,75 point)

>3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux plaques soient défectueuses. (0,75 point)

Partie B : Loi normale

Une plaque de ce type est conforme pour la longueur lorsque sa longueur , exprimée en millimètres, appartient à l’intervalle [548 ; 552].

Une plaque de ce type est conforme pour la largeur lorsque sa largeur , exprimée en millimètres, appartient à l’intervalle [108 ; 112].

>1. On note la variable aléatoire qui, à chaque plaque de ce type prélevée au hasard dans un stock important, associe sa longueur . On suppose que la variable aléatoire suit la loi normale de moyenne 550 et d’écart type 1.

Calculer . (1 point)

>2. On note la variable aléatoire qui, à chaque plaque de ce type prélevée au hasard dans le stock, associe sa largeur . On admet que

On suppose que les variables aléatoires et sont indépendantes.

On prélève une plaque au hasard dans le stock. Déterminer la probabilité qu’elle soit conforme pour la longueur et conforme pour la largeur. (1 point)

Partie C : Intervalle de confiance

Dans cette partie on considère une grande quantité de plaques devant être livrées à une chaîne de montage de véhicules électriques.

>1. On considère un échantillon de 100 plaques prélevées au hasard dans cette livraison.

On constate que, sur les 100 plaques prélevées, 94 plaques sont sans défaut.

On appelle la proportion (inconnue) de plaques sans défaut dans cette livraison.

Déterminer un intervalle de confiance de la proportion avec un niveau de confiance de plus de 95 %. (1 point)

>2. Déterminer le nombre minimal de plaques à prélever pour obtenir un intervalle de confiance de la proportion avec un niveau de confiance de plus de 95 % dont l’amplitude est inférieure ou égale à 0,08. (1 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Loi de probabilité • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. Il s’agit d’un schéma de Bernoulli. X suit une loi binomiale.

>  3. « Au plus deux » signifie « deux ou moins », soit « aucune, une seule ou deux »…

Partie B

>  1. Exploitez les résultats du cours sur la loi normale. On sait que, si suit la loi normale , alors .

Partie C

Un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de plus de 95 % de la proportion est , où est la fréquence observée sur un échantillon de taille .

Corrigé

Partie A

>1. Loi suivie par X

On considère qu’il y a répétition de 50 expériences identiques et indépendantes (puisque la production est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise), il s’agit donc d’un schéma de Bernoulli ; on appelle « succès » l’événement « la plaque est défectueuse », la probabilité de succès est .

X suit donc la loi binomiale de paramètres 50 et 0,02, notée .

>2. Calcul de P(X = 0) et P(X = 1)

est la probabilité que, parmi les 50 plaques prélevées, aucune plaque ne soit défectueuse.

Donc .

est la probabilité que, parmi les 50 plaques prélevées, une plaque exactement soit défectueuse. Donc :

.

>3. Probabilité qu’au plus deux plaques soient défectueuses

La probabilité qu’il y ait au plus deux plaques défectueuses parmi les 50 prélevées est , soit .

Les probabilités et ont déjà été calculées.

D’où .

La probabilité qu’il y ait au plus deux plaques défectueuses parmi les 50 prélevées est donc égale à 0,92 à près.

Partie B

>1. Calcul de p(548  L1 552)

On appelle et respectivement l’espérance et l’écart type de la loi normale de la variable aléatoire .

.

>2. Probabilité qu’une plaque soit conforme pour la longueur et pour la largeur

Puisque les variables aléatoires et sont supposées indépendantes, la probabilité qu’une plaque prélevée au hasard soit conforme pour la longueur et la largeur est

La probabilité qu’une plaque prélevée au hasard soit conforme pour la longueur et conforme pour la largeur est donc approximativement égale à 0,9.

Partie C

>1. Intervalle de confiance de p

Notez bien

Dans l’échantillon considéré, 94 % des plaques sont sans défaut.

Dans cette question, (taille de l’échantillon) et la fréquence observée sur un échantillon de taille 100 est

Un intervalle de confiance de la proportion (inconnue) de plaques sans défaut dans la livraison avec un niveau de confiance de plus de 95 % est donc :

(La proportion ne peut pas dépasser 1)

>2. Nombre minimal de plaques à prélever

L’amplitude de l’intervalle de confiance de la proportion avec un niveau de confiance de plus de 95 % déterminé à partir d’un échantillon de taille est .

Si l’on souhaite un intervalle de confiance d’amplitude inférieure ou égale à 0,08, on doit donc avoir .

Cette inégalité équivaut à .

Or et .

Pour avoir un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de plus de 95 % dont l’amplitude soit inférieure ou égale à 0,08, on doit donc prélever un échantillon d’au moins 625 plaques.