Annale corrigée Exercice Ancien programme

Fabrication de tablettes de chocolat

Pondichéry • Avril 2017

Exercice 1 • 5 points • 1 h

Fabrication de tablettes de chocolat

Les thèmes clés

Probabilités conditionnelles • Loi exponentielle Loi normale • Intervalle de fluctuation

 

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante. Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

La chocolaterie « Choc'o » fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85 %.

Partie A

À l'issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : cassées, mal emballées…

La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication :

la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à 0,98 

la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est 0,95.

À la fin d'une journée, on prélève au hasard une tablette et on note :

A l'évènement : « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A » 

C l'évènement : « la tablette de chocolat est commercialisable ».

On note x la probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.

1. Montrer que P(C) = 0,03x + 0,95.

2. À l'issue de la production, on constate que 96 % des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu'une tablette soit commercialisable. Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A.

Partie B

Une machine électronique mesure la teneur en cacao d'une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire Z suivant une loi exponentielle de paramètre λ.

1. La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans. Déterminer le paramètre λ de la loi exponentielle.

2. Calculer P(Z > 2).

3. Sachant que la machine de l'atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ?

Partie C

On note X la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, en pourcentage, d'une tablette de 100 g de chocolat commercialisable. On admet que X suit la loi normale d'espérance μ = 85 et d'écart type σ = 2.

1. Calculer P(83 X  87). Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2 % du pourcentage annoncé sur l'emballage ?

2. Déterminer une valeur approchée au centième du réel a tel que :

P(85 − X  85 + a= 0,9. Interpréter le résultat dans le contexte.

3. La chocolaterie vend un lot de 10 000 tablettes de chocolat à une enseigne de la grande distribution. Elle affirme au responsable achat de l'enseigne que, dans ce lot, 90 % des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l'intervalle [81,7  88,3].

Afin de vérifier si cette affirmation n'est pas mensongère, le responsable achat fait prélever 550 tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, 80 ne répondent pas au critère. Au vu de l'échantillon prélevé, que peut-on conclure quant à l'affirmation de la chocolaterie ?

Les clés du sujet

Partie A

2. Résolvez dans l'équation P(C) = 0,96 et concluez.

Partie B

3. Pensez à la propriété de durée de vie sans vieillissement.

Partie C

3. Utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique en vérifiant au préalable les conditions d'utilisation.

Corrigé

partie A

1. Déterminer une probabilité  E34 • E35 • E37 

Une tablette de chocolat provient soit de la chaîne de fabrication A soit de la chaîne de fabrication B. L'événement C, « une tablette prélevée au hasard est commercialisable », est ainsi associé aux événements CA et CB (l'événement B désignant l'événement « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication B »). Les événements CA et CB étant incompatibles, on a : P(C)=P(CA)+P(CB).

retenez bien

Deux événements A et B sont incompatibles si aucune issue ne réalise à la fois l'événement A et l'événement B.

Or, P(CA)=P(A)×PA(C)=x×0,98 et l'événement B étant l'événement contraire de l'événement A : P(CB)=P(B)×PB(C)=(1P(A))×PB(C)=(1x)×0,95.

Il en découle que :

P(C)=x×0,98+(1x)×0,95        =x×(0,980,95)+0,95        =0,03x+0,95.

On a donc P(C) = 0,03x + 0,95.

2. Résoudre une équation  E34 

D'après la question précédente, la probabilité qu'une tablette prélevée au hasard soit commercialisable est égale à 0,03x + 0,95. D'après l'énoncé, cette probabilité vaut 0,96. On a alors : 0,03x+0,95=0,96.

Or, 0,03x+0,95=0,960,03x=0,01x=0,010,03=13.

La probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne A est donc égale à un tiers. L'événement B étant l'événement contraire de l'événement A, on a :

P(B)=1P(A)=113=23.

La probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne B est donc égale à deux fois celle que la tablette provienne de la chaîne A.

partie B

> 1. Déterminer le paramètre d'une loi exponentielle  E41c 

« La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans » se traduit à l'aide de l'espérance de la variable aléatoire Z par E(Z)=5. La variable aléatoire Z suivant une loi exponentielle de paramètre λ, on a l'égalité 1λ=5 ce qui est équivalent à λ=15=0,2.

Le paramètre λ de la loi exponentielle est donc égal à 0,2.

2. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle
 E34 • E40a • E40c 

On a :

retenez bien

Une primitive de la densité associée à une loi exponentielle de paramètre λ est : xeλx.

P(Z>2)=1P(Z2)(événement contraire)              =1P(0Z2)                  =102λ×eλxdx(probabilité et intégrale, densité)              =1[eλx]02              = 1(e2λ+e0)              =e2λ              =e0,4.

La probabilité P(Z > 2) est ainsi égale à e–0,4.

3. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle  E42 

La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle : probabilité que la durée de vie de la machine dépasse cinq ans sachant que la machine a déjà fonctionné pendant trois ans. Comme la variable aléatoire Z suit une loi exponentielle, elle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement, on a :

P(Z3)(Z5)=P(Z3)(Z2+3)=P(Z2).

La loi exponentielle étant une loi continue, on a P(Z2)=P(Z>2). Ainsi, d'après la question précédente, on conclut que, sachant que la machine a déjà fonctionné pendant trois ans, la probabilité que sa durée de vie dépasse cinq ans est e–0,4.

partie C

1. Calculer une probabilité dans le cadre
d'une loi normale  C3 • E34 

À l'aide de la calculatrice, on a :

notez bien

Calcul de P(aXb) avec X N(μσ2).Syntaxe pour la TI 83 + : normalFRép(a,b,μ,σ).

Syntaxe pour la Casio Graph 75 : NormCD(a,b,σ,μ).

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1704_12_01C_04

matT_1704_12_01C_05

remarque

Ce résultat était prévisible en constatant que : P(83X87)=P(μσXμ+σ).

Ainsi, la probabilité P(83X87) arrondie au millième est égale à 0,683.

Pour que la teneur en cacao soit différente de plus de 2 % du pourcentage annoncé sur l'emballage à savoir 85 %, il faut que celle-ci ne soit pas comprise entre 83 % et 87 %.

Cet événement est, par suite, l'événement contraire de l'événement {83X87} et sa probabilité est 1P(83X87)10,683=0,317.

La probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de 2 % du pourcentage annoncé sur l'emballage est ainsi égale à 0,317.

2. Déterminer un paramètre dans le cadre d'une loi normale
 E40d • E40e • E41d 

On a :

P(85aX85+a)=0,9P(aX85centrera)=0,9P(a2X852réduirea2)=0,9P(a2Xca2)=0,9

la variable aléatoire Xc=Xμσ=X852 suivant la loi normale centrée réduite.

On doit donc résoudre l'équation d'inconnue x : P(xXcx)=0,9 qui est équivalente à P(xXcx)0,9=0.

La variable aléatoire Xc suivant la loi normale centrée réduite, on sait que : P(1Xc1)0,68 et P(2Xc2)0,95. La solution x est donc à chercher dans l'intervalle [1  2]. À l'aide de la calculatrice, on a :

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1704_12_01C_06

matT_1704_12_01C_07

Ainsi, x1,64 et par identification, x=a2a=2x et a3,28.

Une valeur approchée au centième du réel a tel que P(85 – a  X  85 + a) = 0,9 est 3,28.

3. Prendre une décision à partir d'un intervalle de fluctuation  E43 

On note p la proportion des tablettes qui ont un pourcentage de cacao appartenant à l'intervalle [81,7  88,3], p = 0,9. La taille de l'échantillon prélevé est n = 550. Comme n = 550  30, n × p = 550 × 0,9 = 495  5 et n × (1 – p) = 550 × 0,1 = 55  5, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 pour la fréquence de tablettes qui ont un pourcentage de cacao appartenant à l'intervalle [81,7  88,3] dans un échantillon de taille 550 est ainsi défini et donné par :

I=[p1,96p×(1p)np+1,96p×(1p)n]  =[0,91,960,9×0,15500,9+1,960,9×0,1550]  [0,8750,925].

La fréquence de tablettes qui répondent au critère dans l'échantillon est égale à f=55080550=4705500,855.

Comme f n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique I, on peut remettre en question l'affirmation de la chocolaterie.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner