QCM et vrai/faux
ENS. SPÉCIFIQUE
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matT_1609_04_02C
Antilles, Guyane • Septembre 2016
Exercice 3 • 4 points • ⏱ 40 min
Faites le bon choix !
Les thèmes clés
Nombres complexes • Fonction exponentielle • Fonctions trigonométriques Loi exponentielle
Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et recopiera la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.
▶ 1. On note ℂ l’ensemble des nombres complexes et (E) l’équation d’inconnue z complexe (E) : z2 + 2az + a2 + 1 = 0, où a désigne un nombre réel quelconque.
Pour toute valeur de a, (E) n’a pas de solution dans ℂ.
Pour toute valeur de a, les solutions de (E) dans ℂ ne sont pas réelles et leurs modules sont distincts.
Pour toute valeur de a, les solutions de (E) dans ℂ ne sont pas réelles et leurs modules sont égaux.
Il existe une valeur de a pour laquelle (E) admet au moins une solution réelle.
▶ 2. Soit θ un nombre réel dans l’intervalle ]0 π[ et z le nombre complexe z = 1 + eiθ. Pour tout réel θ dans l’intervalle ]0 π[ :
Le nombre z est un réel positif.
Le nombre z est égal à 1.
Un argument de z est θ.
Un argument de z est .
▶ 3. Soit la fonction f définie et dérivable pour tout nombre réel x par f(x) = e–x sin x.
La fonction f est décroissante sur l’intervalle .
Soit f′ la fonction dérivée de f. On a .
La fonction f est positive sur l’intervalle ]0 + ∞[.
Soit F la fonction définie, pour tout réel x, par F(x) = e–x(cos x - sin x). La fonction F est une primitive de la fonction f.
▶ 4. Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 0,02. 0,45 est une valeur approchée à 10–2 près de :
P(X = 30)
P(X ≤ 60)
P(X ≤ 30)
P(30 ≤ X ≤ 40)
Les clés du sujet
▶ 1. Calculez le discriminant associé à l’équation du second degré (E). Constatez que ce dernier ne dépend pas de la valeur du nombre réel avant de conclure.
▶ 2. Justifiez tout d’abord que le nombre complexe est non nul. Exprimez ensuite le module, le cosinus et le sinus d’un argument du nombre complexe en fonction du réel . Concluez en simplifiant les expressions précédentes à l’aide des formules de duplication.
▶ 3. Déterminez la dérivée de la fonction sur ℝ puis calculez l’image de par .