Faites le bon choix !

QCM et vrai/faux

ENS. SPÉCIFIQUE

matT_1609_04_02C

Antilles, Guyane • Septembre 2016

Exercice 3 • 4 points • ⏱ 40 min

Faites le bon choix !

Les thèmes clés

Nombres complexes • Fonction exponentielle • Fonctions trigonométriques Loi exponentielle

Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et recopiera la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

▶ 1. On note ℂ l’ensemble des nombres complexes et (E) l’équation d’inconnue z complexe (E) : z2 + 2az + a2 + 1 = 0, où a désigne un nombre réel quelconque.

Pour toute valeur de a, (E) n’a pas de solution dans ℂ.

Pour toute valeur de a, les solutions de (E) dans ℂ ne sont pas réelles et leurs modules sont distincts.

Pour toute valeur de a, les solutions de (E) dans ℂ ne sont pas réelles et leurs modules sont égaux.

Il existe une valeur de a pour laquelle (E) admet au moins une solution réelle.

▶ 2. Soit θ un nombre réel dans l’intervalle ]0 ; π[ et z le nombre complexe z = 1 + eiθ. Pour tout réel θ dans l’intervalle ]0 ; π[ :

Le nombre z est un réel positif.

Le nombre z est égal à 1.

Un argument de z est θ.

Un argument de z est $\frac{θ}{2}$ .

▶ 3. Soit la fonction f définie et dérivable pour tout nombre réel x par f(x) = e–x sin x.

La fonction f est décroissante sur l’intervalle $] \frac{π}{4}; + \infty [$ .

Soit f′ la fonction dérivée de f. On a $f^{'} (\frac{π}{4}) = 0$ .

La fonction f est positive sur l’intervalle ]0 ; + ∞[.

Soit F la fonction définie, pour tout réel x, par F(x) = e–x(cos x - sin x). La fonction F est une primitive de la fonction f.

▶ 4. Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 0,02. 0,45 est une valeur approchée à 10–2 près de :

P(X = 30)

P(X ≤ 60)

P(X ≤ 30)

P(30 ≤ X ≤ 40)

Les clés du sujet

▶ 1. Calculez le discriminant associé à l’équation du second degré (E). Constatez que ce dernier ne dépend pas de la valeur du nombre réel $a$ avant de conclure.

▶ 2. Justifiez tout d’abord que le nombre complexe $z$ est non nul. Exprimez ensuite le module, le cosinus et le sinus d’un argument $θ_{z}$ du nombre complexe $z$ en fonction du réel $θ$ . Concluez en simplifiant les expressions précédentes à l’aide des formules de duplication.

▶ 3. Déterminez la dérivée $f^{'}$ de la fonction $f$ sur ℝ puis calculez l’image de $\frac{π}{4}$ par $f^{'}$ .

Corrigé

▶ 1. Déterminer la nature des solutions d’une équation E17a • E18a • E23

Soit $a$ un nombre réel. L’équation (E) d’inconnue complexe $z$ est une équation du second degré dans ℂ. Son discriminant est donné par :

$Δ = {(2 a)}^{2} - 4 \times 1 \times (a^{2} + 1) = 4 a^{2} - 4 \times a^{2} - 4 = - 4$ .

Comme $Δ$ ne dépend pas de $a$ et $Δ$ est strictement négatif, cette équation admet, quelle que soit la valeur de $a$ , deux solutions complexes conjuguées. Un nombre complexe et son conjugué ayant même module, la proposition exacte est : « Pour toute valeur de a, les solutions de (E) dans ℂ ne sont pas réelles et leurs modules sont égaux. »

▶ 2. Déterminer un argument d’un nombre complexe E10h • E18a

Soit $θ$ un nombre réel dans l’intervalle $] 0; π [$ .

Comme $θ \neq 0$ et $θ \neq π,$ le nombre complexe $e^{i θ} = \cos (θ) + i \sin (θ)$ est différent de $- 1$ et par suite, le nombre complexe $z = 1 + e^{i θ}$ est non nul.

Le nombre complexe $z$ étant non nul, un argument $θ_{z}$ de ce nombre complexe exprimé en radians est tel que :

$\cos θ_{z} = \frac{Re (z)}{| z |} = \frac{1 + \cos (θ)}{| z |}$ et $\sin θ_{z} = \frac{Im (z)}{| z |} = \frac{\sin (θ)}{| z |}$ .

$| z |$ étant le module du nombre complexe $z$ donné par :

Rappel

Pour tous réels $a$ et $b,$ ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

$\begin{matrix} | z | = | 1 + \cos (θ) + i \sin (θ) | \\ = \sqrt{{(1 + \cos (θ))}^{2} + \sin^{2} (θ)} \\ = \sqrt{1 + 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)} \\ = \sqrt{2 \times (1 + \cos (θ))} . \end{matrix}$

Par les formules de duplication, nous avons :

$1 + \cos (θ) = 1 + \cos (2 \times \frac{θ}{2}) = 1 + (2 \cos^{2} (\frac{θ}{2}) - 1) = 2 \cos^{2} (\frac{θ}{2})$

et $\sin (θ) = \sin (2 \times \frac{θ}{2}) = 2 \times \sin (\frac{θ}{2}) \times \cos (\frac{θ}{2})$ .

Comme $0 < θ < π$ , alors $0 < \frac{θ}{2} < \frac{π}{2}$ et $\cos (\frac{θ}{2}) > 0$ . Il en découle ainsi, par les deux points précédents, que le module du nombre complexe $z$ s’écrit : $| z | = 2 \cos (\frac{θ}{2})$ et qu’un argument $θ_{z}$ de ce nombre complexe (en radians) est tel que $\cos θ_{z} = \cos (\frac{θ}{2}) et \sin θ_{z} = \sin (\frac{θ}{2}) .$

La proposition exacte est ainsi : « Un argument de z est $\frac{θ}{2}$ . »

Autre méthode

Nous avons $z = 1 + e^{i θ} = 1 + \cos (θ) + i \sin (θ)$ . Comme $θ \in] 0; π [$ , il s’ensuit que $\sin (θ) > 0$ .

La partie imaginaire de $z$ étant non nulle, $z$ n’est pas un réel.

Les deux premières propositions ne conviennent donc pas.

Nous avons également $z = 1 + e^{i θ} = (e^{- i \frac{θ}{2}} + e^{i \frac{θ}{2}}) \times e^{i \frac{θ}{2}} = 2 \cos (\frac{θ}{2}) \times e^{i \frac{θ}{2}}$ . Comme $θ \in] 0; π [$ , $2 \cos (\frac{θ}{2}) > 0$ . Il en découle que le nombre complexe non nul $z$ s’écrit sous forme exponentielle $2 \cos (\frac{θ}{2}) \times e^{i \frac{θ}{2}}$ . Par conséquent, son module $| z |$ est $2 \cos (\frac{θ}{2})$ et « un argument de z est $\frac{θ}{2}$ ».

▶ 3. Déterminer une image par la fonction dérivée E6e • E6f • E8d

Rappel

Pour toutes fonctions dérivables $u$ et $v$ sur un intervalle $I$ , le produit $u \times v$ est dérivable sur $I$ et ${(u \times v)}^{'} = u^{'} \times v + u \times v^{'}$ .

La fonction $f$ est le produit de deux fonctions dérivables sur ℝ.

Ainsi, la dérivée de la fonction $f$ est définie sur ℝ et donnée par :

$\begin{array}{l} f^{'} (x) = (- 1 \times e^{- x}) \times \sin x + e^{- x} \times \cos x \\ = e^{- x} \times (\cos x - \sin x) . \end{array}$

Pour la valeur $x = \frac{π}{4}$ , nous avons :

$f^{'} (\frac{π}{4}) = e^{- \frac{π}{4}} \times (\cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{4})) = e^{- \frac{π}{4}} \times (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$ .

La proposition exacte est alors : « Soit $f^{'}$ la dérivée de $f$ . On a $f^{'} (\frac{π}{4}) = 0$ . »

▶ 4. Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle   E13 • E40c

La densité associée à une loi exponentielle étant nulle sur l’intervalle $] - \infty; 0 [$ , nous avons $P (X \leq 30) = P (0 \leq X \leq 30)$ . Cette probabilité est l’aire en unités d’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la densité associée à la loi exponentielle de paramètre ici $λ = 0,02$ , l’axe des abscisses et les droites d’équations $x = 0$ et $x = 30$ . Ce qui se traduit à l’aide d’une intégrale par :

À retenir

Une primitive sur ℝ de la fonction $x \mapsto λ e^{- λ x}$ est $x \mapsto - e^{- λ x}$ .

$\begin{array}{l} P (0 \leq X \leq 30) = \int_{0}^{30} 0,02 \times e^{- 0,02 x} d x \\ = [_{-}^{} \\ = (- e^{- 0,02 \times 30}) - (- e^{- 0,02 \times 0}) \\ = 1 - e^{- 0,6} \approx 0,45 . \end{array}$

La proposition exacte est ainsi : « 0,45 est une valeur approchée à $10^{- 2}$ près de $P (X \leq 30)$ . »

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