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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujets de type QCM et vrai/faux
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Antilles, Guyane

Antilles, Guyane • Septembre 2016

Exercice 3 • 4 points • 40 min

Faites le bon choix !

Les thèmes clés

Nombres complexes • Fonction exponentielle • Fonctions trigonométriques Loi exponentielle

 

Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et recopiera la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

1. On note l’ensemble des nombres complexes et (E) l’équation d’inconnue z complexe (E) : z2 + 2az + a2 + 1 = 0, où a désigne un nombre réel quelconque.

Pour toute valeur de a, (E) n’a pas de solution dans .

Pour toute valeur de a, les solutions de (E) dans ne sont pas réelles et leurs modules sont distincts.

Pour toute valeur de a, les solutions de (E) dans ne sont pas réelles et leurs modules sont égaux.

Il existe une valeur de a pour laquelle (E) admet au moins une solution réelle.

2. Soit θ un nombre réel dans l’intervalle ]0  π[ et z le nombre complexe z = 1 + eiθ. Pour tout réel θ dans l’intervalle ]0  π[ :

Le nombre z est un réel positif.

Le nombre z est égal à 1.

Un argument de z est θ.

Un argument de z est θ2.

3. Soit la fonction f définie et dérivable pour tout nombre réel x par f(x= ex sin x.

La fonction f est décroissante sur l’intervalle ]π4+[.

Soit f la fonction dérivée de f. On a f(π4)=0.

La fonction f est positive sur l’intervalle ]0  +[.

Soit F la fonction définie, pour tout réel x, par F(x= ex(cos x - sin x). La fonction F est une primitive de la fonction f.

4. Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 0,02. 0,45 est une valeur approchée à 10–2 près de :

P(X = 30)

P(X 60)

P(X 30)

P(30 X 40)

Les clés du sujet

1. Calculez le discriminant associé à l’équation du second degré (E). Constatez que ce dernier ne dépend pas de la valeur du nombre réel a avant de conclure.

2. Justifiez tout d’abord que le nombre complexe z est non nul. Exprimez ensuite le module, le cosinus et le sinus d’un argument θz du nombre complexe z en fonction du réel θ. Concluez en simplifiant les expressions précédentes à l’aide des formules de duplication.

3. Déterminez la dérivée f de la fonction f sur puis calculez l’image de π4 par f.