Famille de fonctions exponentielles

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Famille de fonctions exponentielles
 
 

Fonction exponentielle

Corrigé

14

Ens. spécifique

matT_1306_04_07C

 

Antilles, Guyane • Juin 2013

Exercice 3 • 5 points

Dans tout ce qui suit, m désigne un nombre réel quelconque.

Partie A

Soit f la fonction définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels telle que :

f (x) = (x + 1)ex.

>1. Calculer la limite de f en + ∞ et en − ∞.

>2. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur ℝ.

Démontrer que pour tout réel x, f ′(x) = (x + 2)ex.

>3. Dresser le tableau de variation de f sur .

Partie B

On définit la fonction gm sur ℝ par :

gm(x) =x + 1 − mex.

Et on note Cm la courbe de la fonction gm dans un repère du plan.

>1.a) Démontrer que gm(x) = 0 si et seulement si f (x) =m.

b) Déduire de la partie A, sans justification, le nombre de points d’intersection de la courbe Cm avec l’axe des abscisses en fonction du réel m.

>2. On a représenté en annexe les courbes C0, Ce et C−e (obtenues en prenant respectivement pour m les valeurs 0, e et − e).

Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l’annexe en justifiant.

>3. Étudier la position de la courbe Cm par rapport à la droite D d’équation y=x + 1 suivant les valeurs du réel m.

>4.a) On appelle D2 la partie du plan comprise entre les courbes Ce, C−e, l’axe (Oy) et la droite x= 2. Hachurer D2 sur l’annexe.

b) Dans cette question, a désigne un réel positif, Da la partie du plan comprise entre Ce, C−e, l’axe (Oy) et la droite ∆a d’équation x = a. On désigne par A(a) l’aire de cette partie du plan, exprimée en unités d’aire.

Démontrer que pour tout réel a positif : A(a) = 2e − 2e1−a.

En déduire la limite de A(a) quand a tend vers + ∞.

Annexe


 

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Généralités sur les fonctions • Fonction exponentielle • Primitives et intégration.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Limites  E5a • E5d • E9c  → Partie A, 1. ; partie B, 4. b)
  • Dérivation  E6c • E6e • E6f  → Partie A, 2. et 3.
  • Primitives et intégration  E11c • E13 • E14 Partie B, 4. b)

Nos coups de pouce

Partie B

>1. b) Précisez, par lecture du tableau de variations dressé à la question 3. de la partie A, le nombre de points d’intersection de la courbe représentative de la fonction et de la droite d’équation Concluez en utilisant la relation établie à la question 1. a).

> 2. Calculez l’image de 0 par la fonction Concluez par lecture graphique de l’ordonnée des points d’abscisse 0 de la courbe 1, de la courbe 2 et de la courbe 3.

> 3. Étudier le signe de la différence

  • Comme , on obtient .
Corrigé

Partie A

>1. Calculer les limites d’une fonction

.

Pour tout nombre réel ,

.

Remarque : l’axe des abscisses est alors asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction au voisinage de

>2. Calculer la dérivée d’une fonction

La fonction  est dérivable sur  et sa dérivée  est définie pour tout nombre réel  par

La fonction  est dérivable sur  et sa dérivée est définie pour tout nombre réel  par 

 

Conseil

Appliquer la formule de dérivée d’un produit : (uv)′ =uv +uv′.

La fonction est donc dérivable sur  comme produit de fonctions dérivables sur  et sa dérivée est définie pour tout nombre réel  par :

>3. Dresser le tableau de variations d’une fonction

  • Comme pour tout nombre réel , a le signe de qui s’annule en
  • Pour tout nombre réel , est strictement positif. La fonction  est alors strictement croissante sur
  • Pour tout nombre réel , est strictement négatif. Alors la fonction  est alors strictement décroissante sur

Ce qui se résume par le tableau suivant :


 

partie b

>1.a) Travailler par équivalence sur des égalités

 

Notez bien

Pour tout nombre réel a,

Pour tout nombre réel , nous avons :

b) Déterminer les points d’intersection d’une droite et d’une courbe

Par la question précédente, nous en déduisons que le nombre de points d’intersection entre la courbe  et l’axe des abscisses correspond au nombre de points d’intersection de la courbe représentative de la fonction  et de la droite d’équation En utilisant la question 3. de la partie A, nous avons :

1ercas : . La courbe coupe l’axe des abscisses en un seul point dont l’abscisse est strictement supérieure à 

2ecas : . La courbe coupe l’axe des abscisses en deux points : l’abscisse de l’un des deux points est strictement supérieure à , l’abscisse de l’autre point est strictement inférieure à 

3ecas : La courbe coupe l’axe des abscisses en un seul point : point de coordonnées

4ecas : . La courbe ne coupe pas l’axe des abscisses.

>2. Identifier une courbe

L’image de 0 par la fonction est

  • Sim= 0, le point de coordonnées appartient à la courbe  qui est donc la courbe 2.
  • Sim= e, la courbe  est la courbe 3.
  • Sim= – e, la courbe  est la courbe 1.

>3. Étudier la position d’une courbe par rapport à une droite

Étudier la position relative de la courbe  par rapport à la droite  revient à étudier le signe de la différence , pour tout nombre réel.

1ercas : si , La courbe  et la droite  sont confondues.

2ecas : si , et comme , . La courbe  est donc en dessous de la droite .

3ecas : si , et comme , . La courbe  est donc au-dessus de la droite .

>4.a) Identifier une partie définie du plan

La partie du plan  est constituée des points du plan situés entre les courbes  et  dont les abscisses sont comprises entre 0 et 2.


 

b) Calculer l’aire d’une partie du plan

Soit un nombre réel positif.

Notons  la fonction définie pour tout nombre réel  par

Cette fonction est continue sur comme différence de fonctions continues sur .

Pour tout nombre réel

Par les deux points précédents, nous en déduisons que l’aire de la partie du plan , exprimée en unités d’aire, peut se traduire à l’aide d’une intégrale :

.

  • La fonction étant une primitive de la fonction sur , nous avons :