Annale corrigée Exercice

Figure géométrique

Utiliser la géométrie plane pour démontrer

S'entraîner

mat3_1906_02_06C

Amérique du Nord • Juin 2019

Figure géométrique

Exercice 1

15 min

14 points

On considère la figure ci-dessous, réalisée à main levée et qui n'est pas à l'échelle.

mat3_1906_02_00C_01

On donne les informations suivantes :

les droites (ER) et (FT) sont sécantes en A ;

AE = 8 cm, AF = 10 cm, EF = 6 cm ;

AR = 12 cm, AT = 14 cm.

▶ 1. Démontrer que le triangle AEF est rectangle en E.

▶ 2. En déduire une mesure de l'angle $\hat{EAF}$ au degré près.

▶ 3. Les droites (EF) et (RT) sont-elles parallèles ?

Les clés du sujet

Dans cet exercice, tu vas travailler les théorèmes de Pythagore et Thalès et revoir les formules de trigonométrie.

▶ 1. [AF] est le plus grand côté du triangle AEF.

D'une part : AF² = 10² = 100.

D'autre part : AE² + FE² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100.

Donc : AF² = AE² + FE².

Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on a AEF rectangle en E.

▶ 2. AEF est rectangle en E.

Moyen mnémotechnique : SOHCAHTOA.

$Cos (\hat{A}) = \frac{côté adjacent à \hat{A}}{hypoténuse} = \frac{AE}{AF} = \frac{8}{10}$

Donc $\hat{A} = \arccos (\frac{8}{10}) \approx$ 37°.

▶ 3. Les droites (ER) et (FT) sont sécantes en A.

D'une part : $\frac{AE}{AR} = \frac{8}{12}$ ; d'autre part : $\frac{AF}{AT} = \frac{10}{14}$ .

On a 8 × 14 ≠ 12 × 10

Donc d'après le produit en croix on a $\frac{AE}{AR} \neq \frac{AF}{AT}$ .

Donc les droites (EF) et (RT) ne sont pas parallèles.

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