Annale corrigée Exercice

Figure géométrique

Amérique du Nord • Juin 2019

Figure géométrique

Exercice 1

15 min

14 points

On considère la figure ci-dessous, réalisée à main levée et qui n'est pas à l'échelle.

mat3_1906_02_00C_01

On donne les informations suivantes :

les droites (ER) et (FT) sont sécantes en A ;

AE = 8 cm, AF = 10 cm, EF = 6 cm ;

AR = 12 cm, AT = 14 cm.

1. Démontrer que le triangle AEF est rectangle en E.

2. En déduire une mesure de l'angle EAF^ au degré près.

3. Les droites (EF) et (RT) sont-elles parallèles ?

 

Les clés du sujet

L'intérêt du sujet

Dans cet exercice, tu vas travailler les théorèmes de Pythagore et Thalès et revoir les formules de trigonométrie.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 3 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Connaître la réciproque du théorème de Pythagore; Repère le plus grand côté, puis calcule les carrés des longueurs des côtés du triangle AEF.; Ligne 2 : ▶ 2. Utiliser une formule de trigonométrie pour calculer un angle; Utilise la formule du cosinus de l'angle A^ dans le triangle rectangle AEF.; Ligne 3 : ▶ 3. Utiliser la réciproque du théorème de Thalès; Pour déterminer si les droites sont parallèles, vérifie si les quotients AEAR et AFAT sont égaux.;

1. [AF] est le plus grand côté du triangle AEF.

D'une part : AF2 = 102 = 100.

D'autre part : AE2 + FE2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100.

Donc : AF2 = AE2 + FE2.

Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on a AEF rectangle en E.

2. AEF est rectangle en E.

rappel

Moyen mnémotechnique : SOHCAHTOA.

Cos(A^)=côté adjacent à A^hypoténuse=AEAF=810

Donc A^=arccos810 37°.

3. Les droites (ER) et (FT) sont sécantes en A.

D'une part : AEAR=812 ; d'autre part : AFAT=1014.

On a 8 × 14 ≠ 12 × 10

Donc d'après le produit en croix on a AEARAFAT.

Donc les droites (EF) et (RT) ne sont pas parallèles.

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