Fonction auxiliaire. Suite récurrente

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Fonction auxiliaire. Suite récurrente

Suites numériques

Corrigé

10

Ens. spécifique

matT_1200_00_35C

Sujet inédit

Exercice • 6 points

PARTIE A

Étude d’une fonction auxiliaire

Soit la fonction définie sur par : .

>1.a) Calculer . (0,5 point)

b) Montrer que pour tout appartenant à , , puis calculer . (1 point)

> 2. Démontrer que la dérivée de la fonction sur est définie par :

. (0,75 point)

> 3. Dresser le tableau de variation de la fonction sur en faisant figurer les limites et les valeurs extrêmes. (0,5 point)

> 4. En déduire que 1 est l’unique solution sur de l’équation . (0,5 point)

PARTIE B

Étude d’une suite récurrente

Soit la fonction définie sur par : .

On définit la suite (un) par u0= 5 et pour tout entier naturel n, .

> 1. Déterminer le sens de variation de la fonction . (1 point)

> 2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,

. (0,75 point)

> 3. En déduire que la suite est convergente. (0,5 point)

> 4. On admet que la limite de la suite est telle que .
À l’aide de la partie A, donner la limite de la suite . (0,5 point)

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes en jeu

Suites numériques • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. Revoir les limites usuelles. → fiche  C1 

>  2. Calculez la dérivée puis réduisez au même dénominateur. → fiche  C7 

>  3. Étudiez le signe de la dérivée. → fiche  C9 

>  4. Déduisez du tableau de variation que est le maximum de f
sur . → fiche  C10 

Partie B

>  1. Ne calculez pas la dérivée de la fonction , utilisez le sens de variation de la fonction ln. → fiches  C17  C9 

>  3. Traduisez la double inégalité démontrée dans la question précédente et utilisez le théorème de convergence des suites monotones. → fiche  C25 

Corrigé

PARTIE A

>1. Limites d’une fonction

a) donc, par somme, on en déduit que .

b) En factorisant par dans l’expression de , on obtient :

.

et , donc :
.

Comme , on en déduit par produit, que .

>2. Dérivée d’une fonction

La fonction est dérivable sur comme somme des fonctions et dérivables sur , et pour tout x de , , c’est-à-dire .

>3. Dresser le tableau de variation d’une fonction

Pour x> 0 : .

. On obtient le tableau de variation suivant :


>4. Exploiter le tableau de variation d’une fonction

D’après le tableau de variation, 0 est le maximum de f sur et il est atteint uniquement pour x= 1.

Donc 1 est l’unique solution de l’équation .

PARTIE B

>1. Sens de variation d’une fonction

La fonction est la somme d’une fonction constante et de la fonction qui est croissante sur , donc est croissante sur .

>2. Sens de variation et minoration d’une suite définie par récurrence

On note  la propriété : .

Démontrons par récurrence que P(n) est vraie pour tout entier naturel n.

Initialisation : donc et est vraie.

Hérédité : soit un entier naturel, on suppose que est vraie, soit :

.

La fonction étant croissante sur , on en déduit :

,

c’est-à-dire , ce qui signifie que est vraie.

  • La propriété est vraie au rang et est héréditaire,
    donc pour tout entier naturel , .

>3. Convergence d’une suite monotone

La suite est décroissante et minorée par 1, donc elle converge.

>4. Limite d’une suite définie par récurrence

.

est la fonction étudiée dans la partie A.

L’équation ayant comme unique solution , on en déduit que et la suite converge donc vers 1.