Notion de loi à densité

matT_1609_04_05C

Ens. spécifique

Antilles, Guyane • Septembre 2016

Exercice 3 • 3 points • ⏱ 25 min

Fonction de densité, aire sous la courbe et probabilité

Les thèmes clés

Loi à densité • Intégrale, calcul d'aire.

La fonction f est définie sur [0 1] par f(x) = 2x.

On considère une variable aléatoire X qui suit la loi de probabilité dont la fonction de densité est f.

Cette fonction de densité est représentée ci-après.

matT_1609_04_00C_03

▶ 1. a) Quelle est la valeur, en unité d'aire, de la surface hachurée ? Préciser la démarche utilisée. (1 point)

b) Interpréter ce résultat en terme de probabilité. (0,5 point)

▶ 2. Calculer la probabilité P(0 ≤ X ≤ 0,75). (1,5 point)

Les clés du sujet

▶ 2. La probabilité $P (0 \leq X \leq 0,75)$ est l'aire d'un domaine situé sous la courbe de f.

Corrigé

notez bien

L'aire de la surface hachurée peut être calculée à l'aide d'une intégrale elle est égale à $\int_{0,5}^{1} f (x) d x .$ De manière plus élémentaire, on remarque que cette surface est un trapèze et on utilise la formule permettant de calculer l'aire d'un trapèze. On peut aussi considérer un découpage de la surface.

▶ 1. a) Déterminer la valeur d'une aire

La surface hachurée est un trapèze de sommets les points de coordonnées :

(0,5 0), (0,5 1), (1 0) et (1 2).

Les bases (côtés parallèles) de ce trapèze ont pour longueurs 1 et 2 sa hauteur est 0,5.

Son aire est $A$ donc, en unités d'aire :

$A = \frac{(1 + 2) \times 0,5}{2}$

$A = 0,75$

b) Interpréter l'aire d'un domaine en terme de probabilité

Puisque la courbe représente la fonction de densité f de la loi de la variable aléatoire X, l'aire du domaine hachuré est :

$A = P (0,5 \leq X \leq 1)$

▶ 2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire de fonction de densité connue

$P (0 \leq X \leq 0,75)$ est l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites (parallèles à l'axe des ordonnées) d'équations x = 0 et x = 0,75.

Cette aire est, comme à la question précédente, égale à $\int_{0}^{0,75} f (x) d x$ .

On peut aussi remarquer que $P (0 \leq X \leq 0,75)$ est l'aire du triangle hachuré sur la figure ci-dessous :

matT_1609_04_00C_07

Le triangle hachuré est un triangle rectangle dont les côtés autres que l'hypoténuse ont pour longueurs 0,75 et 1,5.

Son aire $A$ ′ est donc :

$A^{'} = \frac{0,75 \times 1,5}{2}$

$A^{'} = 0,5625$ .

D'où :

$P (0 \leq X \leq 0,75) = 0,5625$

Fonction de densité, aire sous la courbe et probabilité

▶ 1. a) Déterminer la valeur d'une aire

b) Interpréter l'aire d'un domaine en terme de probabilité

▶ 2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire de fonction de densité connue

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