Notion de loi à densité
matT_1609_04_05C
Ens. spécifique
26
Antilles, Guyane • Septembre 2016
Exercice 3 • 3 points • ⏱ 25 min
Fonction de densité, aire sous la courbe et probabilité
Les thèmes clés
Loi à densité • Intégrale, calcul d'aire.
La fonction f est définie sur [0 1] par f(x) = 2x.
On considère une variable aléatoire X qui suit la loi de probabilité dont la fonction de densité est f.
Cette fonction de densité est représentée ci-après.
▶ 1. a) Quelle est la valeur, en unité d'aire, de la surface hachurée ? Préciser la démarche utilisée. (1 point)
b) Interpréter ce résultat en terme de probabilité. (0,5 point)
▶ 2. Calculer la probabilité P(0 ≤ X ≤ 0,75). (1,5 point)
Les clés du sujet
▶ 2. La probabilité est l'aire d'un domaine situé sous la courbe de f.
Corrigé
notez bien
L'aire de la surface hachurée peut être calculée à l'aide d'une intégrale elle est égale à De manière plus élémentaire, on remarque que cette surface est un trapèze et on utilise la formule permettant de calculer l'aire d'un trapèze. On peut aussi considérer un découpage de la surface.
▶ 1. a) Déterminer la valeur d'une aire
La surface hachurée est un trapèze de sommets les points de coordonnées :
(0,5 0), (0,5 1), (1 0) et (1 2).
Les bases (côtés parallèles) de ce trapèze ont pour longueurs 1 et 2 sa hauteur est 0,5.
Son aire est donc, en unités d'aire :
b) Interpréter l'aire d'un domaine en terme de probabilité
Puisque la courbe représente la fonction de densité f de la loi de la variable aléatoire X, l'aire du domaine hachuré est :
▶ 2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire de fonction de densité connue
est l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites (parallèles à l'axe des ordonnées) d'équations x = 0 et x = 0,75.
Cette aire est, comme à la question précédente, égale à .
On peut aussi remarquer que est l'aire du triangle hachuré sur la figure ci-dessous :
Le triangle hachuré est un triangle rectangle dont les côtés autres que l'hypoténuse ont pour longueurs 0,75 et 1,5.
Son aire ′ est donc :
.
D'où :