Annale corrigée Exercice Ancien programme

Fonction exponentielle. Nombre dérivé. Primitive

Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Fonction exponentielle. Nombre dérivé. Primitive

Analyse • Intégration

Corrigé

22

Ens. spécifique

matT_1205_02_00C

D'après Amérique du Nord • Mai 2012

Exercice 3 • 5 points

Partie A

On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé la courbe représentative d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [– 2 4].

On nomme A le point de d'abscisse – 1 et B le point de d'abscisse 0.

La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [– 2 – 1] et strictement décroissante sur l'intervalle [– 1 4]

La tangente à au point A est horizontale.

La droite est la tangente à au point B et a pour équation


Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée.

> 1. a) Donner la valeur de

b) Déterminer le signe de

c) Interpréter graphiquement , puis donner sa valeur.

> 2. Encadrer, avec deux entiers consécutifs, l'intégrale exprimée en unités d'aire.

Partie B

La fonction de la partie A a pour expression .

> 1. Calculer la valeur exacte de l'ordonnée du point A de la courbe .

> 2. Justifier par le calcul le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [– 2 4].

> 3. Montrer que la fonction définie sur l'intervalle [– 2 4] par :

est une primitive de f.

> 4. a) Calculer la valeur exacte de l'intégrale .

b) Vérifier la cohérence de ce résultat avec celui de la question 2. de la partie A.

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Nombre dérivé, tangente • Sens de variation • Fonction exponentielle • Primitives usuelles • Aire d'un domaine plan

Les conseils du correcteur

Partie A

> 1. Utilisez le fait que est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse a.

Partie B

> 2. Calculez la dérivée de f.

> 3. Calculez la dérivée de F.

> 4. a) Utilisez la question 3.

Partie A

> 1. Interpréter graphiquement des nombres dérivés

a) est le coefficient directeur de la tangente à au point A d'abscisse . Or, d'après l'énoncé, cette tangente est horizontale, donc son coefficient directeur est nul :

Notez bien

Une droite a un coefficient directeur négatif si et seulement si elle représente une fonction affine décroissante.

b) De même, est le coefficient directeur de la tangente à au point d'abscisse 2. D'après le graphique, cette tangente a un coefficient directeur négatif :

c) est le coefficient directeur de la tangente à au point B d'abscisse 0 d'après l'énoncé, cette tangente a pour équation , donc son coefficient directeur est égal à – 1 :

> 2. Déterminer graphiquement un encadrement d'une intégrale

Notez bien

L'unité d'aire est l'aire du carré OIKJ, avec I(1 0), K(1 1), J(0 1).

D'après le graphique, la fonction est continue et positive sur l'intervalle , donc est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et .

Graphiquement :

.


L'« aire sous la courbe » de entre et 0 est comprise entre l'aire du rectangle hachuré et celle du rectangle colorié.

Partie B

> 1. Calculer l'ordonnée d'un point de la courbe représentative d'une fonction

Le point A a pour abscisse et .

Donc l'ordonnée du point A est e.

> 2. Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

Pour étudier les variations de sur l'intervalle [– 2 4], on calcule sa dérivée.

Pour tout appartenant à [– 2 4] :

.

a donc le signe de , soit :

  • si , alors
  • si , alors .

La fonction f est donc strictement croissante sur , strictement décroissante sur elle a un maximum en , égal à , avec .

> 3. Montrer qu'une fonction F donnée est une primitive d'une fonction f donnée

.

Pour tout appartenant à :

.

F est donc une primitive de f.

> 4. a) Calculer une intégrale

Par définition d'une intégrale, . D'où :

b) Vérifier la cohérence d'un résultat

À l'aide de la calculatrice, on obtient à 10–2 près, .

Cette valeur est compatible avec l'encadrement de la question 2. de la partie A.

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