Analyse • Intégration
Corrigé
22
Ens. spécifique
matT_1205_02_00C
D’après Amérique du Nord • Mai 2012
Exercice 3 • 5 points
Partie A
On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé 
la courbe représentative 
d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [– 2 ; 4].
On nomme A le point de 
d’abscisse – 1 et B le point de 
d’abscisse 0.
La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [– 2 ; – 1] et strictement décroissante sur l’intervalle [– 1 ; 4]
La tangente à 
au point A est horizontale.
La droite 
est la tangente à 
au point B et a pour équation 
Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée.
, puis donner sa valeur.
exprimée en unités d’aire.
Partie B
La fonction 
de la partie 
.
.
définie sur l’intervalle [– 2 ; 4] par :
est une primitive de f.
.
Durée conseillée : 45 min.
Les thèmes en jeu
Nombre dérivé, tangente • Sens de variation • Fonction exponentielle • Primitives usuelles • Aire d’un domaine plan
Les conseils du correcteur
Partie A
est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse a.
Partie B
Partie A
> 1. Interpréter graphiquement des nombres dérivés
est le coefficient directeur de la tangente à 
au point A d’abscisse 
. Or, d’après l’énoncé, cette tangente est horizontale, donc son coefficient directeur est nul :
Notez bien
Une droite a un coefficient directeur négatif si et seulement si elle représente une fonction affine décroissante.
est le coefficient directeur de la tangente à 
au point d’abscisse 2. D’après le graphique, cette tangente a un coefficient directeur négatif :
est le coefficient directeur de la tangente à 
au point B d’abscisse 0 ; d’après l’énoncé, cette tangente a pour équation 
, donc son coefficient directeur est égal à – 1 :
> 2. Déterminer graphiquement un encadrement d’une intégrale
Notez bien
L’unité d’aire est l’aire du carré OIKJ, avec I(1 ; 0), K(1 ; 1), J(0 ; 1).
D’après le graphique, la fonction 
est continue et positive sur l’intervalle 
, donc 
est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe 
, l’axe des abscisses et les droites d’équations 
et 
.
Graphiquement :
.
L’« aire sous la courbe » de 
entre 
et 0 est comprise entre l’aire du rectangle hachuré et celle du rectangle colorié.
Partie B
> 1. Calculer l’ordonnée d’un point de la courbe représentative d’une fonction
Le point A a pour abscisse 
et 
.
> 2. Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle
Pour étudier les variations de 
sur l’intervalle [– 2 ; 4], on calcule sa dérivée.
Pour tout 
appartenant à [– 2 ; 4] :
.
a donc le signe de 
, soit :
;- si
, alors 
; - si
, alors 
.
> 3. Montrer qu’une fonction F donnée est une primitive d’une fonction f donnée
.
Pour tout 
appartenant à 
:
.
> 4. a) Calculer une intégrale
Par définition d’une intégrale, 
. D’où :
b) Vérifier la cohérence d’un résultat
À l’aide de la calculatrice, on obtient à 10–2 près, 
.