Analyse • Intégration
Corrigé
22
Ens. spécifique
matT_1205_02_00C
D'après Amérique du Nord • Mai 2012
Exercice 3 • 5 points
Partie A
On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé 
la courbe représentative 
d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [– 2 4].
On nomme A le point de 
d'abscisse – 1 et B le point de 
d'abscisse 0.
La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [– 2 – 1] et strictement décroissante sur l'intervalle [– 1 4]
La tangente à 
au point A est horizontale.
La droite 
est la tangente à 
au point B et a pour équation 
Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée.
, puis donner sa valeur.
exprimée en unités d'aire.
Partie B
La fonction 
de la partie 
.
.
définie sur l'intervalle [– 2 4] par :
est une primitive de f.
.
Durée conseillée : 45 min.
Les thèmes en jeu
Nombre dérivé, tangente • Sens de variation • Fonction exponentielle • Primitives usuelles • Aire d'un domaine plan
Les conseils du correcteur
Partie A
est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse a.
Partie B
Partie A
> 1. Interpréter graphiquement des nombres dérivés
est le coefficient directeur de la tangente à 
au point A d'abscisse 
. Or, d'après l'énoncé, cette tangente est horizontale, donc son coefficient directeur est nul :
Notez bien
Une droite a un coefficient directeur négatif si et seulement si elle représente une fonction affine décroissante.
est le coefficient directeur de la tangente à 
au point d'abscisse 2. D'après le graphique, cette tangente a un coefficient directeur négatif :
est le coefficient directeur de la tangente à 
au point B d'abscisse 0 d'après l'énoncé, cette tangente a pour équation 
, donc son coefficient directeur est égal à – 1 :
> 2. Déterminer graphiquement un encadrement d'une intégrale
Notez bien
L'unité d'aire est l'aire du carré OIKJ, avec I(1 0), K(1 1), J(0 1).
D'après le graphique, la fonction 
est continue et positive sur l'intervalle 
, donc 
est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe 
, l'axe des abscisses et les droites d'équations 
et 
.
Graphiquement :
.
L'« aire sous la courbe » de 
entre 
et 0 est comprise entre l'aire du rectangle hachuré et celle du rectangle colorié.
Partie B
> 1. Calculer l'ordonnée d'un point de la courbe représentative d'une fonction
Le point A a pour abscisse 
et 
.
> 2. Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle
Pour étudier les variations de 
sur l'intervalle [– 2 4], on calcule sa dérivée.
Pour tout 
appartenant à [– 2 4] :
.
a donc le signe de 
, soit :
- si
, alors 
- si
, alors 
.
> 3. Montrer qu'une fonction F donnée est une primitive d'une fonction f donnée
.
Pour tout 
appartenant à 
:
.
> 4. a) Calculer une intégrale
Par définition d'une intégrale, 
. D'où :
b) Vérifier la cohérence d'un résultat
À l'aide de la calculatrice, on obtient à 10–2 près, 
.