Fonction exponentielle. Nombre dérivé. Primitive

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Amérique du Nord
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Fonction exponentielle. Nombre dérivé. Primitive

Analyse • Intégration

Corrigé

22

Ens. spécifique

matT_1205_02_00C

D’après Amérique du Nord • Mai 2012

Exercice 3 • 5 points

Partie A

On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [– 2 ; 4].

On nomme A le point de d’abscisse – 1 et B le point de d’abscisse 0.

La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [– 2 ; – 1] et strictement décroissante sur l’intervalle [– 1 ; 4]

La tangente à au point A est horizontale.

La droite est la tangente à au point B et a pour équation


Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée.

>1.a) Donner la valeur de

b) Déterminer le signe de

c) Interpréter graphiquement , puis donner sa valeur.

>2. Encadrer, avec deux entiers consécutifs, l’intégrale exprimée en unités d’aire.

Partie B

La fonction de la partie A a pour expression .

>1. Calculer la valeur exacte de l’ordonnée du point A de la courbe .

>2. Justifier par le calcul le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [– 2 ; 4].

>3. Montrer que la fonction définie sur l’intervalle [– 2 ; 4] par :

est une primitive de f.

>4.a) Calculer la valeur exacte de l’intégrale .

b) Vérifier la cohérence de ce résultat avec celui de la question 2. de la partie A.

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Nombre dérivé, tangente • Sens de variation • Fonction exponentielle • Primitives usuelles • Aire d’un domaine plan

Les conseils du correcteur

Partie A

>1. Utilisez le fait que est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse a.

Partie B

>2. Calculez la dérivée de f.

>3. Calculez la dérivée de F.

>4.a) Utilisez la question 3.

Corrigé

Partie A

>1. Interpréter graphiquement des nombres dérivés

a) est le coefficient directeur de la tangente à au point A d’abscisse . Or, d’après l’énoncé, cette tangente est horizontale, donc son coefficient directeur est nul :

Notez bien

Une droite a un coefficient directeur négatif si et seulement si elle représente une fonction affine décroissante.

b) De même, est le coefficient directeur de la tangente à au point d’abscisse 2. D’après le graphique, cette tangente a un coefficient directeur négatif :

c) est le coefficient directeur de la tangente à au point B d’abscisse 0 ; d’après l’énoncé, cette tangente a pour équation , donc son coefficient directeur est égal à – 1 :

>2. Déterminer graphiquement un encadrement d’une intégrale

Notez bien

L’unité d’aire est l’aire du carré OIKJ, avec I(1 ; 0), K(1 ; 1), J(0 ; 1).

D’après le graphique, la fonction est continue et positive sur l’intervalle , donc est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équations  et .

Graphiquement :

.


L’« aire sous la courbe » de entre et 0 est comprise entre l’aire du rectangle hachuré et celle du rectangle colorié.

Partie B

>1. Calculer l’ordonnée d’un point de la courbe représentative d’une fonction

Le point A a pour abscisse et .

Donc l’ordonnée du point A est e.

>2. Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle

Pour étudier les variations de sur l’intervalle [– 2 ; 4], on calcule sa dérivée.

Pour tout appartenant à [– 2 ; 4] :

.

a donc le signe de , soit :

  •  ;
  • si , alors  ;
  • si , alors .

La fonction f est donc strictement croissante sur , strictement décroissante sur  ; elle a un maximum en , égal à , avec .

>3. Montrer qu’une fonction F donnée est une primitive d’une fonction f donnée

.

Pour tout appartenant à  :

.

F est donc une primitive de f.

>4. a) Calculer une intégrale

Par définition d’une intégrale, . D’où :

b) Vérifier la cohérence d’un résultat

À l’aide de la calculatrice, on obtient à 10–2 près, .

Cette valeur est compatible avec l’encadrement de la question 2. de la partie A.