Fonction exponentielle. Nombre dérivé. Primitive

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Amérique du Nord
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Fonction exponentielle. Nombre  d&eacute riv&eacute .  Primitive

Analyse &bull Int&eacute gration

Corrig&eacute

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Ens. sp&eacute cifique

matT_1205_02_00C

D&rsquo apr&egrave s Am&eacute rique du Nord &bull Mai 2012

Exercice 3 &bull 5 points

Partie A

On donne ci-dessous, dans un rep&egrave re orthonorm&eacute la courbe repr&eacute sentative d&rsquo une fonction f d&eacute finie et d&eacute rivable sur l&rsquo intervalle [&ndash   2  4].

On nomme A le point de d&rsquo abscisse &ndash   1 et B le point de d&rsquo abscisse  0.

La fonction f est strictement croissante sur l&rsquo intervalle [&ndash   2  &ndash   1] et strictement d&eacute croissante sur l&rsquo intervalle [&ndash   1  4]

La tangente &agrave au point A est horizontale.

La droite est la tangente &agrave au point B et a pour &eacute quation


Pour chacune des questions qui suivent, toute r&eacute ponse sera justifi&eacute e.

&gt 1.a) Donner la valeur de

b)  D&eacute terminer le signe de

c)  Interpr&eacute ter graphiquement , puis donner sa valeur.

&gt 2.  Encadrer, avec deux entiers cons&eacute cutifs, l&rsquo int&eacute grale exprim&eacute e en unit&eacute s d&rsquo aire.

Partie B

La fonction de la partie A a pour expression .

&gt 1.  Calculer la valeur exacte de l&rsquo ordonn&eacute e du point A de la courbe .

&gt 2.  Justifier par le calcul le sens de variation de la fonction f sur l&rsquo intervalle [&ndash   2  4].

&gt 3.  Montrer que la fonction d&eacute finie sur l&rsquo intervalle [&ndash   2  4] par  :

est une primitive de f.

&gt 4.a) Calculer la valeur exacte de l&rsquo int&eacute grale .

b)  V&eacute rifier la coh&eacute rence de ce r&eacute sultat avec celui de la question 2. de la partie A.

Dur&eacute e conseill&eacute e  : 45  min.

Les th&egrave mes en jeu

Nombre d&eacute riv&eacute , tangente &bull Sens de variation &bull Fonction exponentielle &bull Primitives usuelles &bull Aire d&rsquo un domaine plan

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt 1.  Utilisez le fait que est le coefficient directeur de la tangente &agrave la courbe repr&eacute sentative de la fonction f au point d&rsquo abscisse a.

Partie B

&gt 2.  Calculez la d&eacute riv&eacute e de f.

&gt 3.  Calculez la d&eacute riv&eacute e de F.

&gt 4.a) Utilisez la question 3.