Fonction exponentielle. Position d’un point sur une courbe

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Fonction exponentielle. Position  d’un  point sur une courbe

Fonction exponentielle

Corrigé

15

Ens. spécifique

matT_1200_00_39C

Sujet inédit

Exercice • 7 points

PARTIE A

&Eacute tude d’une fonction

Soit g la fonction défi nie sur par .

>  1.  Déterminer la limite de g en . (0,5  point)

>  2.  &Eacute tudier les variations de la fonction g. (0,75  point)

>3.a)  Démontrer que l’équation admet une unique solution, notée &alpha , dans . (0,75  point)

b)  &Agrave l’aide d’une calculatrice, donner un encadrement d’amplitude de &alpha . (0,25  point)

c)  Montrer que . (0,25  point)

>  4.  Dresser le tableau de variation complet de g. (0,75  point)

>  5.  Donner le signe de suivant les valeurs de x. (0,5  point)

PARTIE B

&Eacute tude des variations d’une fonction

Soit A la fonction défi nie sur par .

>  1.  Démontrer que pour tout x de , a le même signe que . (0,75  point)

>  2.  En déduire les variations de la fonction A sur et montrer qu’elle admet pour maximum . (1  point)

PARTIE C

&Eacute tude de la position d’un point sur une courbe

Soit f la fonction défi nie sur par .

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé .

Pour tout réel x positif ou nul, on appelle M le point de C d’abscisse x, P le point de coordonnées et Q le point de coordonnées .

&alpha désigne le réel obtenu dans la partie A.

>  1.  Démontrer que l’aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse &alpha . Donner la valeur de cette aire maximale. (0,75  point)

>  2.  Démontrer que la tangente T à la courbe C au point M d’abscisse &alpha est parallèle à la droite (PQ). (0,75  point)

Durée conseillée  : 60  min.

Le thème en jeu

Fonction exponentielle.

Les conseils du correcteur

Partie A

>    1.  Voici une forme indéterminée de type «    ». Factorisez l’expression de par et appliquez la limite usuelle de la fonction exponentielle en . →  fiche    C1 

>    2.  Classiquement, calculez puis étudiez le signe de la dérivée . Pour cela, précisez la dérivabilité de la fonction produit g et appliquez la bonne formule  de dérivation avant de conclure. →  fiches    C7    C9 

>    3.  a)  Il s’agira dans cette question d’appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Utilisez pour cela la continuité et la monotonie de la fonction g. →  fiche    C11 

>    4.  N’oubliez pas d’insérer dans votre tableau la valeur exacte de et la limite calculée à la première question. →  fiche    C10 

Partie B

>    1.  Attention, la fonction A étudiée est le quotient de deux fonctions &shy dérivables u et v à définir. Appliquez la formule de dérivation  : . Par le biais d’une simple factorisation faites apparaître . →  fiches    C7    C9 

>    2.  Ne confondez pas les variations de A avec celle de g. Allez donc récupérer le signe de g et pas ses variations…

Partie C

>    1.  Démontrez que est bien l’aire du rectangle OPMQ.

>    2.  Calculez le coefficient directeur de la tangente à C en et celui de la droite (PQ) et concluez. Pour information, &alpha est bien le nombre introduit dans la partie A. Utilisez donc l’égalité établie  : .