Fonction exponentielle. Position d’un point sur une courbe

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Fonction exponentielle. Position d’un point sur une courbe

Fonction exponentielle

Corrigé

15

Ens. spécifique

matT_1200_00_39C

Sujet inédit

Exercice • 7 points

PARTIE A

Étude d’une fonction

Soit g la fonction définie sur par .

> 1. Déterminer la limite de g en . (0,5 point)

> 2. Étudier les variations de la fonction g. (0,75 point)

>3.a) Démontrer que l’équation admet une unique solution, notée α, dans . (0,75 point)

b) À l’aide d’une calculatrice, donner un encadrement d’amplitude de α. (0,25 point)

c) Montrer que . (0,25 point)

> 4. Dresser le tableau de variation complet de g. (0,75 point)

> 5. Donner le signe de suivant les valeurs de x. (0,5 point)

PARTIE B

Étude des variations d’une fonction

Soit A la fonction définie sur par .

> 1. Démontrer que pour tout x de , a le même signe que . (0,75 point)

> 2. En déduire les variations de la fonction A sur et montrer qu’elle admet pour maximum . (1 point)

PARTIE C

Étude de la position d’un point sur une courbe

Soit f la fonction définie sur par .

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé .

Pour tout réel x positif ou nul, on appelle M le point de C d’abscisse x, P le point de coordonnées et Q le point de coordonnées .

α désigne le réel obtenu dans la partie A.

> 1. Démontrer que l’aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse α. Donner la valeur de cette aire maximale. (0,75 point)

> 2. Démontrer que la tangente T à la courbe C au point M d’abscisse α est parallèle à la droite (PQ). (0,75 point)

Durée conseillée : 60 min.

Le thème en jeu

Fonction exponentielle.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. Voici une forme indéterminée de type «  ». Factorisez l’expression de par et appliquez la limite usuelle de la fonction exponentielle en . → fiche  C1 

>  2. Classiquement, calculez puis étudiez le signe de la dérivée . Pour cela, précisez la dérivabilité de la fonction produit g et appliquez la bonne formule de dérivation avant de conclure. → fiches  C7  C9 

>  3. a) Il s’agira dans cette question d’appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Utilisez pour cela la continuité et la monotonie de la fonction g. → fiche  C11 

>  4. N’oubliez pas d’insérer dans votre tableau la valeur exacte de et la limite calculée à la première question. → fiche  C10 

Partie B

>  1. Attention, la fonction A étudiée est le quotient de deux fonctions ­dérivables u et v à définir. Appliquez la formule de dérivation : . Par le biais d’une simple factorisation faites apparaître . → fiches  C7  C9 

>  2. Ne confondez pas les variations de A avec celle de g. Allez donc récupérer le signe de g et pas ses variations…

Partie C

>  1. Démontrez que est bien l’aire du rectangle OPMQ.

>  2. Calculez le coefficient directeur de la tangente à C en et celui de la droite (PQ) et concluez. Pour information, α est bien le nombre introduit dans la partie A. Utilisez donc l’égalité établie : .

Corrigé

PARTIE A

>1. Calculer la limite d’une fonction

Pour tout , .

par produit .

D’où, par somme : .

>2. Étudier les variations d’une fonction 

  • La fonction exponentielle est dérivable sur . La fonction g est donc dérivable sur comme somme et produit de fonctions dérivables sur .

Pour tout ,
.

Il s’agit ici d’utiliser judicieusement la formule de dérivation du produit de deux fonctions dérivables.

  • Pour tout réel x, , donc :

pour tout , et .

Par conséquent, la fonctiong est strictement décroissante sur .

>3.a) Résoudre une équation du type f(x) =k

La fonction g est continue et strictement décroissante sur .

De plus, l’image de par g est et .

Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel appartenant à tel que .

b) Donner un encadrement de la solution d’une équation

Avec une calculatrice, on obtient
et .
et ,
donc .

Configurer le tableau de valeurs de f préalablement définie dans la calculatrice. Utiliser pour cela un pas de 0,1 avant de passer à un pas de 0,01.

c) Transformer une équation

>4. Dresser le tableau de variation d’une fonction 


.

>5. Déterminer le signe d’une fonction

La fonction g est strictement décroissante sur , et .

Donc pour tout , , et pour tout , .

PARTIE B

>1. Calculer une dérivée

A est dérivable sur [0 ; + ∞[ car quotient de fonctions dérivables sur [0 ; + ∞[ pour lequel le dénominateur ne s’annule pas.

Posons pour tout , et  ; alors :

, et .

Ainsi, pour tout  :

.

Pour tout réel x, , donc pour tout ,

a le même signe que .

>2. Donner les variations d’une fonction et calculer un extremum

Pour tout , , et pour tout , .

Donc pour tout , , et pour tout , .

Ainsi, la fonction A est strictement croissante sur et strictement décroissante sur .

Elle admet donc un maximum pour , égal à .

Or, d’après la question A3. ; donc

PARTIE C

>1. Déterminer une aire maximale


D’après la question précédente, la fonction A admet un maximum pour .

Donc l’aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse α.

Elle est alors égale à

>2. Démontrer que deux droites sont parallèles

  • La droite (PQ) a pour coefficient directeur :

  • La tangente T à la courbe C au point M d’abscisse α a pour coefficient directeur .

Or, pour tout , , donc .

D’où : , avec et , ce qui donne .

Les droites T et (PQ) ont le même coefficient directeur, donc elles sont parallèles.