Fonction exponentielle
Corrigé
17
Ens. spécifique
matT_1200_00_94C
Sujet inédit
Exercice • 6 points
Soit f la fonction défi nie sur ℝ par .
On désigne par d'unité graphique 2 cm.
en − ∞. En déduire que la droite
d'équation
est une asymptote oblique à la courbe
. (0,25 point)
et démontrer que, pour tout réel x, on a :
. (0,5 point)
à la courbe
. (0,5 point)
à la courbe
Tracer la courbe ,
par :
. (0,5 point)
l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par
,
Durée conseillée : 1 h 05
Les thèmes en jeu
Généralités sur les fonctions • Fonction exponentielle • Primitives et intégration.
Les conseils du correcteur
. Rappelez-vous que
. → fiche C1
. (Attention ! La fonction auxiliaire introduite ici est une fonction quotient. Appliquez donc la bonne formule !) Remarquez, quand vous transformez l'expression de
, les deux identités remarquables
et
. → fiche C7
. → fiches C9 et C10
entraîne
. Utilisez le résultat important établi dans les questions précédentes, à savoir :
. → fiche C13
et référez vous à la fiche C7 A
Pour calculer cette intégrale, utilisez la primitive introduite à la question précédente. → fiche C28
> 1. a) Calculer la limite d'une fonction
On a, d'après le cours,, d'où :
par quotient, on en déduit que
.
b) Démontrer qu'une droite est asymptote à une courbe
c) Étudier la position relative de deux courbes
> 2. a) Calculer la dérivée d'une fonction
- La fonction
est dérivable sur
. De plus, on remarque que pour tout
,
. On en déduit que la fonction
est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.
D'autre part, la fonction affine est dérivable sur
.
b) Étudier les variations d'une fonction et dresser son tableau de variation
- Un carré étant toujours positif, on en déduit que
. En analysant son expression, on remarque que
s'annule si et seulement si
. Ce qui est équivalent à :
Ainsi, ne s'annule qu'une seule fois en
.
- Voici le tableau de variation de la fonction f :

> 3. a) Étudier une tangente particulière
D'une manière générale, si f est dérivable en a, alors la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour équation :
.
On a remarqué, à la question précédente, que .
b) Étudier la position relative de deux courbes
- f est strictement croissante sur
. Ainsi, pour tout
, on a
. Or,
d'où
.
- f est strictement croissante sur
. D'où pour tout
, on a
. Or,
d'où
.
> 4. Déterminer l'équation réduite d'une tangente
f étant dérivable en 0, on en déduit que la tangente .
> 5. Tracer une courbe

> 6. a) Déterminer une primitive d'une fonction
b) Interpréter graphiquement une intégrale et la calculer
Soit . D'après le résultat établi dans la question
pour tout
. De plus, la fonction
est continue sur
. On a donc successivement les égalités :
D'après la question précédente :