Fonction exponentielle. Primitives et intégration

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Fonction exponentielle. Primitives et intégration

Fonction exponentielle

Corrigé

17

Ens. spécifique

matT_1200_00_94C

Sujet inédit

Exercice • 6 points

Soit f la fonction définie sur ℝ par .

On désigne par Cf sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

>1.a) Déterminer la limite de f en − ∞. (0,25 point)

b) Calculer la limite de la fonction en − ∞. En déduire que la droite d’équation est une asymptote oblique à la courbe Cf. (0,5 point)

c) Étudier la position de Cf par rapport à . (0,25 point)

>2.a) On note f′ la fonction dérivée de f. Calculer et démontrer que, pour tout réel x, on a : . (0,5 point)

b) Étudier les variations de f sur ℝ et dresser le tableau de variations de la fonction f. (0,5 point)

>3.a) Que peut-on dire de la tangente à la courbe Cf au point I d’abscisse ln 3 ? (0,25 point)

b) En utilisant les variations de la fonction f, étudier la position de la courbe Cf par rapport à . (0,5 point)

>4. Donner l’équation réduite de la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 0. (0,75 point)

>5. On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe Cf.

Tracer la courbe Cf, les tangentes , D3 et les asymptotes à la courbe Cf. On rappelle que l’unité graphique choisie est 2 cm. (0,5 point)

>6.a) Déterminer une primitive de la fonction g définie sur par : . (0,5 point)

b) Soit λ un réel strictement négatif. On note l’aire, en unités d’aire, du domaine limité par , Cf et les droites d’équations x = λ et x = 0. (0,5 point)

Montrer que .

c) Calculer . (0,5 point)

Durée conseillée : 1 h 05

Les thèmes en jeu

Généralités sur les fonctions • Fonction exponentielle • Primitives et intégration.

Les conseils du correcteur

>1.a) Pas de difficulté majeure pour le calcul de la limite de f en . Rappelez-vous que . → fiche  C1 

b) Pour démontrer qu’une courbe admet une asymptote oblique, reportez-vous à la fiche  C4 .

c) Pour étudier la position relative de deux courbes, voyez la fiche  C13 .

>2.a) Commencez par calculer la dérivée de la fonction . (Attention ! La fonction auxiliaire introduite ici est une fonction quotient. Appliquez donc la bonne formule !) Remarquez, quand vous trans­formez l’expression de , les deux identités remarquables et . → fiche  C7 

b) Notez que . → fiches  C9  et  C10 

>3.a) Déterminez l’équation de la droite D2 en vous référant à la fiche  C8 . Rappelez-vous qu’une droite dont le coefficient directeur est nul est horizontale.

b) N’oubliez pas que si f est croissante sur un intervalle J alors pour tout a ∈ J et b ∈ J, entraîne . Utilisez le résultat important établi dans les questions précédentes, à savoir : . → fiche  C13 

>6.a) Posez et référez vous à la fiche  C7 A 

b) Utilisez la fiche sur l’interprétation graphique d’une intégrale pour répondre à cette question. → fiche  C27 

Pour calculer cette intégrale, utilisez la primitive introduite à la question précédente. → fiche  C28 

c) Pour calculer la limite demandée, référez-vous à la fiche  C1 .

Corrigé

>1.a) Calculer la limite d’une fonction

On a, d’après le cours,, d’où :

par quotient, on en déduit que.

De plus, on a. Par somme on obtient :

.

b) Démontrer qu’une droite est asymptote à une courbe

Soit , on a :

.

On a vu que , d’où .

Par conséquent, la droite D1 d’équation est asymptote à la courbe Cf en .

c) Étudier la position relative de deux courbes

Pour tout , on a montré que .

On sait que pour tout , . On en déduit que et et donc que . Ainsi, pour tout , .

Cela entraîne que Cf est en dessous de D1 sur .

>2.a) Calculer la dérivée d’une fonction

  • La fonction est dérivable sur . De plus, on remarque que pour tout , . On en déduit que la fonction est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.

D’autre part, la fonction affine est dérivable sur .

Par conséquent, f est dérivable sur comme somme de deux fonctions dérivables sur.

  • Calculons dans un premier temps en posant et .

On a donc et .

Soit , on a , d’où :

.

Ainsi, , avec  :

.

D’où, et avec  :

.

Pour tout réel x, on a donc .

b) Étudier les variations d’une fonction et dresser son tableau de variation

Attention

N’oubliez pas que l’objectif principal est d’étudier le signe de . Restez donc dans une optique de factorisation.

  • Un carré étant toujours positif, on en déduit que . En analysant son expression, on remarque que s’annule si et seulement si . Ce qui est équivalent à :

.

Ainsi, ne s’annule qu’une seule fois en .

On en conclut que f est strictement croissante sur .

  • Voici le tableau de variation de la fonction f :

Notez bien

La limite de en + ∞ n’est pas demandée.


>3.a) Étudier une tangente particulière

D’une manière générale, si f est dérivable en a, alors la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a a pour équation :

.

Posons .

La tangente D2 au point Id’abscisse ln 3 a pour équation : .

On a remarqué, à la question précédente, que .

De plus,

.

On en déduit que la tangente D2au point I d’abscisse ln 3 est horizontale et a pour équation : .

b) Étudier la position relative de deux courbes

  • f est strictement croissante sur . Ainsi, pour tout , on a . Or, d’où .
  • f est strictement croissante sur . D’où pour tout , on a . Or, d’où .

Par conséquent :

  • Cf est en dessous de D2sur ;
  • Cf est au-dessus de D2sur ;
  • CfetD2admettent le point I d’abscisse ln 3 comme unique point d’intersection.

>4. Déterminer l’équation réduite d’une tangente

f étant dérivable en 0, on en déduit que la tangente D3 au point d’abscisse 0 a pour équation .

On a d’une part :

.

D’autre part : .

En conclusion, la tangente D3 au point d’abscisse 0 a pour équation .

>5. Tracer une courbe


>6.a) Déterminer une primitive d’une fonction

Posons pour tout , . On a d’une part , et d’autre part . Ainsi, pour tout , .

La fonction définie sur est donc une primitive de g sur .

b) Interpréter graphiquement une intégrale et la calculer

Attention

La fonction G est bien définie sur car . En effet, la fonction logarithme népérien est définie sur .

Soit . D’après le résultat établi dans la question 1. c), on a pour tout . De plus, la fonction est continue sur . On a donc successivement les égalités :

D’après la question précédente :

.

c) Calculer la limite d’une fonction

Rappel

(si et ).

On a , d’où et donc .

Par conséquent, , c’est-à-dire .