Fonction logarithme népérien en 4 questions

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Nouvelle-Calédonie
Corpus Corpus 1
Fonction logarithme népérien en 4 questions

Fonction logarithme népérien

matT_1411_11_01C

Ens. spécifique

16

D’après Nouvelle-Calédonie • Novembre 2014

Exercice 2 • 4 points

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

>1.g est la fonction définie sur par g(x) = 2x ln(2x + 1).

Proposition 1 : Sur , l’équation g(x) = 2x a une unique solution : .

Proposition 2 : Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d’abscisse est 1 + ln 4.

>2.Proposition 3 : .

>3.Proposition 4 : .

>4.Proposition 5 : L’équation ln(x − 1) − ln(x + 2) = ln 4 admet une solution unique dans .

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Logarithme népérien.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Dérivation (opérations et tangente)  E6b• E6f  → 1.
  • Propriétés liées au logarithme népérien  E9a• E9b• E6f  → 1. à 4.
  • Calcul intégral  E11d• E13  → 3.

Nos coups de pouce

>1. Proposition 2 : dérivez la fonction Calculez .

>3. Proposition 4 : pensez que la fonction sous l’intégrale est la dérivée d’une fonction composée classique du type .

>4. Proposition 5 : pensez à déterminer les valeurs de pour lesquelles l’équation proposée a un sens avant de vous lancer dans la résolution de cette équation.

Corrigé
Corrigé

>1. Résoudre une équation et calculer un coefficient directeur

  • Pour tout nombre réel , nous avons :

Notez bien

équivaut à ou .

L’équation admet donc deux solutions sur l’intervalle

La proposition 1 est donc fausse.

  • Par définition, le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction au point d’abscisse est désigne la dérivée de la fonction .

Attention !

Si est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors .

La fonction est le produit de deux fonctions et définies respectivement sur et sur par et . Comme et sont dérivables sur , alors la fonction est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables et, pour tout nombre réel :

Par suite,.

La proposition 2 est donc vraie.

>2. Valider ou invalider une égalité

Notez bien

Pour tout réel x, .

Pour tout réel a> 0, .

Pour tout réel x> 0, .

D’une part,

et d’autre part, .

Les deux expressions sont égales.

La proposition 3 est donc vraie.

>3. Calculer une intégrale

La fonction est une fonction continue sur comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas sur . Cette fonction admet donc des primitives sur et donc sur .

Pour tout réel , ( est strictement positive sur ).

Une primitive sur de la fonction est donc la fonction .

Notez bien

Pour tout réel a> 0, .

Ainsi :

La proposition 4 est donc vraie.

>4. Résoudre une équation

L’équation proposée a un sens si et seulement si et . Cela équivaut donc à dire que .

L’ensemble de définition de cette équation est donc l’intervalle .

Ainsi, pour tout réel de l’intervalle  :

Notez bien

Pour tous réels a> 0 et b> 0, .

Comme , l’équation proposée n’admet pas de solution dans .

La proposition 5 est donc fausse.