Fonction rationnelle. Tangentes parallèles

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Fonction rationnelle. Tangentes parallèles

Compléments sur les fonctions

Corrigé

11

Ens. spécifique

matT_1200_00_36C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

On considère la fonction f définie sur – {– 2} par .

On note C sa courbe représentative dans un repère du plan.

PARTIE A

Étude d’une fonction rationnelle

> 1. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes des intervalles sur lesquels elle est définie. Interpréter graphiquement. (1 point)

> 2. Déterminer les variations de la fonction f. (1,5 point)

> 3. Dresser le tableau de variation de la fonction f. (0,5 point)

PARTIE B

Étude de deux tangentes parallèles

> 1. Déterminer l’équation réduite de la tangente T à la courbe C au point A d’abscisse 1. (0,5 point)

> 2. On cherche à déterminer les coordonnées du point B en lequel la courbe admet une tangente T′ parallèle à T. (0,5 point)

a) Démontrer que pour tout x de – {– 2} : .

b) En déduire les solutions de l’équation .

c) Conclure.

> 3. Déterminer l’équation réduite de la droite (T′). (0,5 point)

> 4. Tracer C, T et T′. (0,5 point)

Durée conseillée : 50 min.

Le thème en jeu

Fonctions : généralités.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. Pour déterminer la limite de f en l’infini, pensez à factoriser.

Pour l’étude en , l’utilisation de la règle des signes vous oblige à distinguer les deux cas et .

>  2. La fonction f étant dérivable sur et sur , ses variations se déduisent du signe de sa dérivée sur chacun de ces intervalles. → fiches  C7  C9 

Partie B

>  1. La tangente T à C en A d’abscisse 1 a pour coefficient directeur . → fiche  C8 

>  2. b) Utilisez l’équivalence établie dans la question précédente.

c) Relisez l’objectif de la question et interprétez l’une des deux solutions de l’équation précédente. Rappelez-vous que deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.

>  3. Déduisez-en l’équation réduite de la droite étudiée.

Corrigé

PARTIE A

>1. Limites de f aux bornes de son ensemble de définition

Pour tout x ≠ 0 et x ≠ – 2, .

, donc par quotient et produit .

, donc par quotient et produit .

.

,

donc par quotient :

.

,

donc .

On en déduit que la droite d d’équation est asymptote à C parallèle à l’axe des ordonnées.

>2. Étude des variations de la fonction f

La fonction f est un quotient de fonctions polynômes ; elle est donc dérivable sur chaque intervalle sur lequel elle est définie, c’est-à-dire sur et sur . Ses variations se déduisent du signe de sa dérivée sur chacun de ces intervalles.

Pour tout x – {– 2}, .

Pour tout x – {– 2}, , donc a le signe de .  ; donc le trinôme a deux racines réelles : et . Ainsi :

sur ,

sur

et .

On en déduit que la fonction f est :

  • strictement croissante sur et sur  ;
  • strictement décroissante sur et sur .

>3. Tableau de variation de la fonction f

On obtient de même .

On en déduit le tableau de variation suivant :


PARTIE B

>1. Déterminer l’équation réduite d’une tangente à une courbe

La tangente T en à la courbe C a pour équation réduite avec et ,

ce qui donne : .

>2.a) Démontrer une équivalence

Pour tout x – {– 2} :

soit .

b) Résoudre une équation

D’après la question précédente, l’équation a les mêmes solutions que l’équation .

 ; donc l’équation a deux solutions réelles distinctes :

et .

c) Conclusion

est le coefficient directeur de la tangente T à C au point A(1 ; 0).

D’après l’étude précédente, la courbe C admet aussi une tangente de coefficient directeur au point d’abscisse .

Or, deux droites ayant le même coefficient directeur sont parallèles. Donc le point B cherché est le point de coordonnées , soit .

>3. Déterminer l’équation réduite d’une tangente à une courbe

La tangente T′ en à la courbe C a pour équation réduite , soit .

>4. Tracer une courbe et deux de ses tangentes