Terminale générale Mathématiques Fonctions de référence

Analyse • Fonctions de référence

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Fonctions de référence

Fonction tangente

30 min

4 points

Intérêt du sujet • Ce problème permet de définir la fonction tangente, très souvent utilisée, et qu’il est bon de connaître.

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Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-dessous) situé à l’extérieur du segment [AB]. La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur le segment [EM] perpendiculaire à la droite (AB), ailleurs qu’en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B.

Pour augmenter ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l’angle $\hat{ATB}$ le plus grand possible.

Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point T sur le segment [EM] pour laquelle la mesure de l’angle $\hat{ATB}$ est maximale et, si c’est le cas, d’en déterminer une valeur approchée.

Dans toute la suite, on note x la longueur ET que l’on cherche à déterminer.

Les dimensions du terrain sont : EM = 50 m, EA = 25 m, AB = 5,6 m.

Les mesures des angles sont exprimées en radians, dans $[0; \frac{π}{2}[.$

On note a la mesure de l’angle $\hat{ETA},$ b la mesure de l’angle $\hat{ETB}$ et c la mesure de l’angle $\hat{ATB} .$

▶ 1. Exprimer $\tan a$ et $\tan b$ en fonction de x.

▶ 2. On définit la fonction tangente, notée tan, sur l’intervalle $[0; \frac{π}{2}[.$ par $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ .

Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur $[0; \frac{π}{2}[.$

▶ 3. Pour tous réels α et β de $[0; \frac{π}{2}[,$ on admet que $\tan (α - β) = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \cdot \tan β} .$ Montrer que $\tan c = \frac{5,6 x}{x^{2} + 765} .$

▶ 4. Justifier que la mesure c de l’angle $\hat{ATB}$ est maximale lorsque $\tan c$ est maximum. Montrer que cela correspond au minimum de la fonction f définie par $f (x) = x + \frac{765}{x}$ sur l’intervalle $] 0; 50] .$

▶ 5. Montrer qu’il existe une unique valeur de x pour laquelle la mesure de l’angle $\hat{ATB}$ est maximale. Déterminer cette valeur au mètre près, ainsi qu’une mesure de l’angle $\hat{ATB}$ à 0,01 radian près.

Les clés du sujet

▶ 1. Utilisez les formules de trigonométrie.

▶ 2. Dérivez la fonction tan en utilisant la dérivée d’un quotient.

▶ 3. Remplacez α et β par les valeurs adéquates.

▶ 4. Grâce au résultat de la question 2 et à la transformation de l’expression de $\tan c$ , mettez en évidence une fonction plus simple.

▶ 1. Utiliser la trigonométrie du triangle rectangle

Dans le triangle TEA rectangle en E, on a $\tan a = \frac{EA}{ET} = \frac{25}{x}$ .

Dans le triangle TEB rectangle en E, $\tan b = \frac{EB}{ET} = \frac{EA + AB}{ET} = \frac{30,6}{x}$ .

▶ 2. Déterminer la dérivée d’un quotient

La fonction tan est dérivable sur $[0; \frac{π}{2}[,$ comme quotient de fonctions dérivables (dont le dénominateur ne s’annule pas).

Pour $x \in [0; \frac{π}{2}[,$ on a :

$ta n^{'} (x) = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (- \cos x)}{\cos^{2} x} = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{co s^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x} > 0 .$

Donc la fonction tan est strictement croissante sur $[0; \frac{π}{2}[$ .

▶ 3. Simplifier une expression

On a c = b - a. Donc en appliquant la formule donnée, on obtient,

$\tan c = \tan (b - a) = \frac{\tan b - \tan a}{1 + \tan b \tan a} = \frac{\frac{30,6}{x} - \frac{25}{x}}{1 + \frac{30,6}{x} \times \frac{25}{x}} = \frac{\frac{5,6}{x}}{1 + \frac{765}{x^{2}}} = \frac{5,6 x}{x^{2} + 765} .$

▶ 4. Déterminer un minimum

La fonction tan est strictement croissante sur $[0; \frac{π}{2}[.$ Donc $\tan c$ est maximum lorsque c est maximum.

Pour tout $x \in] 0; 50],$ $f (x) = x + \frac{765}{x} = \frac{x^{2} + 765}{x} = \frac{5,6}{\tan c} > 0 .$

La fonction inverse est strictement décroissante sur $] 0; + \infty [.$ Donc c est maximum $\Leftrightarrow \tan c$ est maximum $\Leftrightarrow f (x)$ est minimum.

▶ 5. Trouver les valeurs numériques

La fonction f est dérivable sur $] 0; 50]$ comme somme de fonctions dérivables. Pour tout $x \in] 0; 50],$ on a :

$f^{'} (x) = 1 - \frac{765}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 765}{x^{2}} = \frac{(x - \sqrt[]{765}) (x + \sqrt[]{765})}{x^{2}} .$

Donc $f^{'} (x)$ est du signe de $x - \sqrt[]{765}$ . La fonction f est strictement décroissante sur $] 0; \sqrt[]{765}]$ et strictement croissante sur $[\sqrt[]{765}; 50] .$ Elle admet donc un minimum en $x = \sqrt[]{765}$ .

La mesure de l’angle $\hat{ATB}$ est maximale pour $x = \sqrt[]{765} \approx 27,659 .$

Pour maximiser ses chances, le joueur doit donc se placer à 28 mètres de la ligne d’essai. À cette position, on a alors $\tan c = \frac{5,6 \times \sqrt[]{765}}{{(\sqrt[]{765})}^{2} + 765} = \frac{5,6 \sqrt[]{765}}{1 530} .$ La mesure maximale de l’angle $\hat{ATB}$ correspondante est donc 0,1 rad (ce qui correspond à environ 6°).