Fonction trigonométrique. Calcul intégral

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Fonction trigonométrique. Calcul  intégral

Compléments sur les fonctions

Corrigé

13

Ens. spécifique

matT_1200_00_22C

Sujet inédit

Exercice 1 • 4 points

Partie A

&Eacute tude d’une fonction trigonométrique

On considère la fonction f définie sur l’intervalle par

.

>1.a)  Déterminer la fonction dérivée de la fonction f.

b)  En utilisant la relation sin(2a)  = 2 sin(a)cos(a), montrer que, pour tout nombre réel x de l’intervalle , .

>  2.  Résoudre dans l’intervalle , l’équation produit  :

sin(x)[1  +  2cos(x)]  = 0.

>3.a)  En s’appuyant sur la représentation graphique de la fonction dérivée donnée en annexe, dresser le tableau de signes de sur l’intervalle .

b)  Déduire des questions 2. et 3.  a) le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle . Préciser les ordonnées des points de la courbe représentative de f dont l’abscisse x vérifie .

c)  Donner le signe de la fonction f sur l’intervalle .

>  4.  Tracer la courbe représentative de f sur l’intervalle dans le repère de l’annexe (où est déjà représentée).

Partie B

Calcul intégral et interprétation graphique

On pose et .

>1.a)  Sur l’annexe, colorier en bleu la partie du graphique correspondant à .

b)  Calculer .

>2.a)  Sur l’annexe, colorier en rouge la partie du graphique correspondant à

.

b)  Calculer .

>3.  Soit A l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan délimitée par les courbes respectives de f et f&prime et les droites x= 0 et x=  &zwnj . Démontrer que . On pourra, pour mener un raisonnement, utiliser les représentations graphiques respectives des fonctions f et f&prime et les propriétés qui en découlent.

Annexe

La courbe préconstruite ci-dessous est la représentation graphique de la fonction dérivée sur l’intervalle [0  2&pi ].


Durée conseillée  : 45  min.

Les thèmes en jeu

Fonctions trigonométriques • Primitives et intégrales.

Les conseils du correcteur

Partie A

>    1.  a)  Appliquez judicieusement la formule de dérivation .  →  fiche    C7  C 

b)  Utilisez ensuite l’égalité trigonométrique donnée en rappel, à savoir, , pour aboutir à l’expression demandée. →  fiche    C19 

>    2.  Pour résoudre cette équation trigonométrique, il vous est impératif de  connaître l’équivalence suivante ou avec ainsi que les sinus de certains angles usuels. →  fiches    C18    C19 

>    3.  a)  Utilisez les «  zéros  » de la fonction , trouvés précédemment, et déduisez-en son signe en analysant la courbe donnée en annexe.

b)  De façon empirique, utilisez le signe de f&prime pour en déduire les variations de la fonction f. →  fiche    C9 

Partie B

>    1.  a)  Rappel  : Soit f une fonction continue et positive sur [a    b]. On appelle intégrale de a à b de f et on note le réel mesurant l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan limitée par la courbe Cf, l’axe (Ox) et les droites d’équations x  =  a et x  =  b. →  fiche    C27 

b)  N’oubliez pas que pour calculer l’intégrale d’une fonction sur un intervalle, il faut, la plupart du temps, déterminer une primitive. Remarquez à ce sujet que f est une primitive de f&prime sur avant de conclure. →  fiche   C28 

>    2.  b)  Utilisez que est une primitive de f&thinsp sur [0    2&pi ]. →  fiche    C7  D 

>    3.  Montrez que . Pour cela, donnez dans un premier temps les signes respectifs des fonctions f et f&prime en vous référant aux courbes obtenues dans la partie A. Utilisez les primitives déterminées dans les questions précédentes. Gérez ensuite quelques lignes de calculs algébriques pour aboutir au résultat proposé. →  fiches    C27    C28