Fonction trigonométrique. Calcul intégral

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Fonction trigonométrique. Calcul intégral

Compléments sur les fonctions

Corrigé

13

Ens. spécifique

matT_1200_00_22C

Sujet inédit

Exercice 1 • 4 points

Partie A

Étude d’une fonction trigonométrique

On considère la fonction f définie sur l’intervalle par

.

>1.a) Déterminer la fonction dérivée de la fonction f.

b) En utilisant la relation sin(2a) = 2 sin(a)cos(a), montrer que, pour tout nombre réel x de l’intervalle , .

> 2. Résoudre dans l’intervalle , l’équation produit :

sin(x)[1 + 2cos(x)] = 0.

>3.a) En s’appuyant sur la représentation graphique de la fonction dérivée donnée en annexe, dresser le tableau de signes de sur l’intervalle .

b) Déduire des questions 2. et 3. a) le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle . Préciser les ordonnées des points de la courbe représentative de f dont l’abscisse x vérifie .

c) Donner le signe de la fonction f sur l’intervalle .

> 4. Tracer la courbe représentative de f sur l’intervalle dans le repère de l’annexe (où est déjà représentée).

Partie B

Calcul intégral et interprétation graphique

On pose et .

>1.a) Sur l’annexe, colorier en bleu la partie du graphique correspondant à .

b) Calculer .

>2.a) Sur l’annexe, colorier en rouge la partie du graphique correspondant à

.

b) Calculer .

>3. Soit A l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan délimitée par les courbes respectives de f et f′ et les droites x= 0 et x= ‌. Démontrer que . On pourra, pour mener un raisonnement, utiliser les représentations graphiques respectives des fonctions f et f′ et les propriétés qui en découlent.

Annexe

La courbe préconstruite ci-dessous est la représentation graphique de la fonction dérivée sur l’intervalle [0 ; 2π].


Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Fonctions trigonométriques • Primitives et intégrales.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. a) Appliquez judicieusement la formule de dérivation . → fiche  C7 C 

b) Utilisez ensuite l’égalité trigonométrique donnée en rappel, à savoir, , pour aboutir à l’expression demandée. → fiche  C19 

>  2. Pour résoudre cette équation trigonométrique, il vous est impératif de connaître l’équivalence suivante ou avec ainsi que les sinus de certains angles usuels. → fiches  C18  C19 

>  3. a) Utilisez les « zéros » de la fonction , trouvés précédemment, et déduisez-en son signe en analysant la courbe donnée en annexe.

b) De façon empirique, utilisez le signe de f′ pour en déduire les variations de la fonction f. → fiche  C9 

Partie B

>  1. a) Rappel : Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b]. On appelle intégrale de a à b de f et on note le réel mesurant l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan limitée par la courbe Cf, l’axe (Ox) et les droites d’équations x = a et x = b. → fiche  C27 

b) N’oubliez pas que pour calculer l’intégrale d’une fonction sur un intervalle, il faut, la plupart du temps, déterminer une primitive. Remarquez à ce sujet que f est une primitive de f′ sur avant de conclure. → fiche  C28 

>  2. b) Utilisez que est une primitive de f  sur [0 ; 2π]. → fiche  C7 D 

>  3. Montrez que . Pour cela, donnez dans un premier temps les signes respectifs des fonctions f et f′ en vous référant aux courbes obtenues dans la partie A. Utilisez les primitives déterminées dans les questions précédentes. Gérez ensuite quelques lignes de calculs algébriques pour aboutir au résultat proposé. → fiches  C27  C28 

Corrigé

Partie A

On considère la fonction f définie sur l’intervalle par

.

>1.a) Déterminer la fonction dérivée d’une fonction

La fonction f est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur .

On a pour tout  : .

Par conséquent, on a, pour tout  :

b) Utiliser une égalité trigonométrique

Le rappel sin(2a) = 2 sin(a)cos(a) nous permet d’écrire que .

Il s’ensuit que, pour tout ,

>2. Résoudre une équation trigonométrique

Un produit est nul si, et seulement si, l’un des facteurs est nul.

  • .

L’équation admet 3 solutions sur  : 0, et .

  • .

L’équation admet 2 solutions sur  : et .

On en déduit que l’équation admet 5 solutions sur l’intervalle  : 0,, , et .

>3.a) Dresser le tableau de signes de la dérivée d’une fonction

Voici le tableau de signes de sur l’intervalle  :


b) Dresser le tableau de variation d’une fonction


 ;  ;

 ;

.

c) D’après le tableau de variation, f est positive sur [0 ; 2π].

>4. Représenter graphiquement une fonction

Voir graphique à la fin de la correction.

Partie B

On pose et .

>1.a) Interpréter graphiquement une intégrale

étant positive et continue sur l’intervalle , on en déduit que est égale à l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan délimitée par la courbe représentative de f′, les droites et et l’axe des abscisses.

b) Calculer une intégrale

f étant une primitive de f′ sur , on en conclut que

et donc

>2.a) Interpréter graphiquement une intégrale

f étant positive et continue sur l’intervalle , on en déduit que est égale à l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan délimitée par la courbe représentative de f, les droites et et l’axe des abscisses.

b) Calculer une intégrale

On a  ; et pour finir

>3. Interpréter et calculer une intégrale

Les fonctions f et f′ étant respectivement positive et négative sur l’intervalle , il s’ensuit que l’aire A, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan délimitée par les courbes respectives de f et f′ et les droites x= 0 et x= est donnée par les égalités suivantes :

et donc