Fonctionnement d’une centrale gravitaire

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser le calcul littéral
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Inédit


Sujet inédit • Nombres et calculs

Exercice • 5,5 points

Fonctionnement d’une centrale gravitaire

Le schéma suivant montre le fonctionnement d’une centrale électrique gravitaire qui utilise la force de l’eau pour fabriquer de l’électricité :

l’eau retenue forme le réservoir ;

l’eau descend le long d’une conduite forcée vers la turbine ;

la turbine, en tournant, transforme l’énergie mécanique en énergie électrique.

mat3_1600_00_01C_01

1. Calculer la longueur AT puis la hauteur TH de chute.

2. Calculer l’angle de chute 445937-Eqn1.

3. Lorsqu’elle chute d’une hauteur HT, l’eau a une vitesse V, au bout de la conduite, donnée par :

445937-Eqn2

g est l’intensité de pesanteur (9,81 N/kg) ; H la hauteur de chute (m) ; V  la vitesse de chute (m/s).

Calculer la vitesse de l’eau au bout de la conduite (arrondir à l’unité).

4. La conduite forcée est un cylindre de 50 cm de diamètre. Le débit de l’eau dans la conduite est donné par la formule Q = S × VS est l’aire de la section de la conduite par un plan parallèle à sa base (en m2), V la vitesse de l’eau (en m/s) et Q le débit (en m3/s).

a) Quelle est la nature de la section de la conduite forcée ?

Aucune justification n’est demandée.

b) Calculer l’aire S de la section de la conduite forcée (arrondir au centième).

c) Calculer le débit Q de l’eau dans la conduite forcée (arrondir à l’entier).

Les clés du sujet

Points du programme

Théorème de Pythagore • Trigonométrie • Substitution dans une expression littérale • Sections planes.

Nos coups de pouce

1. Quel théorème peut-on utiliser pour calculer une longueur dans un triangle rectangle ?

4. b) et c) Remplace les inconnues par les valeurs calculées et données.

Corrigé

Corrigé

1. Le triangle BAT est rectangle en A ; d’après le théorème de Pythagore on a :

BT= BA2 + AT2

89= 392 + AT2

7 921 = 1 521 + AT2

AT= 7 921 – 1 521 = 6 400

AT = 445937-Eqn3445937-Eqn3b

Donc TH = 80 + 12 = 445937-Eqn3c (car les points T, A, H sont alignés).

2. Le triangle BAT est rectangle en A donc :

445937-Eqn4

445937-Eqn5445937-Eqn5b.

3. On remplace les inconnues dans la formule 445937-Eqn6 par leurs valeurs :

445937-Eqn7445937-Eqn7b.

4. a) La section d’un cylindre par un plan parallèle à sa base est un disque.

b) On calcule l’aire d’un disque de 50 cm de diamètre. Son rayon est 445937-Eqn8. Donc 445937-Eqn9445937-Eqn9b, valeur arrondie au centième.

c) Le débit d’eau se calcule selon la formule 445937-Eqn10, en remplaçant S et V avec les valeurs trouvées aux questions précédentes :

445937-Eqn11.