Fonctionnement et défauts de matériel informatique

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Pondichéry

 

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Pondichéry • Avril 2015

Exercice 1 • 5 points

Fonctionnement et défauts de matériel informatique

Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

L’entreprise MICRO vend en ligne du matériel informatique, notamment des ordinateurs portables et des clés USB.

Partie A

Durant la période de garantie, les deux problèmes les plus fréquemment relevés par le service après-vente portent sur la batterie et le disque dur, ainsi :

Parmi les ordinateurs vendus, 5 % ont été retournés pour un défaut de batterie et parmi ceux-ci, 2 % ont aussi un disque dur défectueux.

Parmi les ordinateurs dont la batterie fonctionne correctement, 5 % ont un disque dur défectueux.

On suppose que la société MICRO garde constant le niveau de qualité de ses produits. Suite à l’achat en ligne d’un ordinateur :

Proposition 1

La probabilité que l’ordinateur acheté n’ait ni problème de batterie ni problème de disque dur est égale à 0,08 à 0,01 près. (1 point)

Proposition 2

La probabilité que l’ordinateur acheté ait un disque dur défectueux est égale à 0,0485. (1 point)

Proposition 3

Sachant que l’ordinateur a été retourné pendant sa période de garantie car son disque dur était défectueux, la probabilité que sa batterie le soit également est inférieure à 0,02. (1 point)

Partie B

L’autonomie de la batterie qui équipe les ordinateurs portables distribués par la société MICRO, exprimée en heure, suit une loi normale d’espérance 4555019-Eqn1 et d’écart-type 4555019-Eqn2.

Proposition 4

La probabilité que l’ordinateur ait une autonomie supérieure ou égale à 10 h est inférieure à 0,2. (1 point)

Partie C

L’entreprise MICRO vend également des clés USB et communique sur ce produit en affirmant que 98 % des clés commercialisées fonctionnent correctement.

Sur 1 000 clés prélevées dans le stock, 50 clés se révèlent défectueuses.

Proposition 5

Ce test, réalisé sur ces 1 000 clés, ne remet pas en cause la communication de l’entreprise. (1 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 40 minutes

Les thèmes en jeu

Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale • Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

Partie A

> Proposition 1 : L’événement dont on cherche la probabilité est l’intersection de deux événements.

> Proposition 2 : Un ordinateur dont le disque dur est défectueux a une batterie qui fonctionne correctement ou bien une batterie défectueuse.

> Proposition 3 : Utilisez la définition d’une probabilité conditionnelle.

Partie C

> Proposition 5 : Déterminez et utilisez un intervalle de fluctuation.

Corrigé

Corrigé

Partie A

▶ 1. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

Soit B l’événement « l’ordinateur acheté a une batterie défectueuse » et D l’événement « l’ordinateur acheté a un disque dur défectueux ».

La probabilité que l’ordinateur acheté n’ait ni problème de batterie ni problème de disque dur est 4555019-Eqn71.

D’après l’énoncé, 4555019-Eqn72 (5 % des ordinateurs ont un défaut de batterie), 4555019-Eqn73 (2 % des ordinateurs ayant un défaut de batterie ont aussi un disque dur défectueux) et 4555019-Eqn74 (parmi les ordinateurs dont la batterie fonctionne correctement, 5 % ont un disque dur défectueux).

4555019-Eqn75 et 4555019-Eqn76, d’où :

4555019-Eqn77.

Gagnez des points !

Si la proposition 1 était vraie, cela signifierait que seulement 8 % des ordinateurs vendus par l’entreprise MICRO n’ont aucun problème, et donc que 92 % des ordinateurs ont au moins un problème (batterie ou disque dur), voire les deux.

Donc la proposition 1 « la probabilité que l’ordinateur acheté n’ait ni problème de batterie ni problème de disque dur est égale à 0,08 à 0,01 près » est fausse.

▶ 2. Calculer la probabilité d’un événement

Avec les mêmes notations que précédemment B et 4555019-Eqn78 constituent une partition de l’univers, donc :

4555019-Eqn79

4555019-Eqn80

4555019-Eqn81

4555019-Eqn82

Donc la proposition 2 « la probabilité que l’ordinateur acheté ait un disque dur défectueux est égale à 0,0485 » est vraie.

▶ 3. Calculer une probabilité conditionnelle

4555019-Eqn83 donc :

4555019-Eqn84.

Donc la proposition 3 « Sachant que l’ordinateur a été retourné pendant sa période de garantie car son disque dur était défectueux, la probabilité que sa batterie le soit également est inférieure à 0,02 » est fausse.

Partie B

▶ 4. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Notez bien

Puisque X suit une loi à densité : 4555019-Eqn86.

Soit 4555019-Eqn87 la variable aléatoire égale à l’autonomie (en heures) de la batterie. On cherche à calculer 4555019-Eqn88.

Or la calculatrice ne donne que des valeurs approchées de probabilités de la forme 4555019-Eqn89, avec 4555019-Eqn90 et 4555019-Eqn91 réels. D’où :

4555019-Eqn92

4555019-Eqn93 normale d’espérance 4555019-Eqn94.

D’après la calculatrice, 4555019-Eqn95 à 4555019-Eqn96 près,

donc 4555019-Eqn97, donc 4555019-Eqn98

Donc la proposition 4 « la probabilité que l’ordinateur ait une autonomie supérieure ou égale à 10 h est inférieure à 0,2 » est vraie.

Partie C

▶ 5. Déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique

Les 1 000 clés prélevées et testées constituent un échantillon de taille 4555019-Eqn99. La proportion de clés défectueuses dans la production est, d’après l’entreprise, 4555019-Eqn100, puisqu’elle affirme que 98 % des clés commercialisées fonctionnent correctement.

La fréquence de clés défectueuses dans l’échantillon constitué est :

4555019-Eqn101.

4555019-Eqn102 ; 4555019-Eqn103 ; 4555019-Eqn104, donc on peut utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de clés défectueuses dans un échantillon de taille 1 000 est :

4555019-Eqn105.

En arrondissant par défaut la borne gauche, par excès la borne droite (de manière à avoir un intervalle contenant le précédent), un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence de clés défectueuses dans un échantillon de taille 1 000 est :

I = 4555019-Eqn106.

Notez bien

Pour cette question, on aurait pu raisonner à partir de la proportion annoncée de clés fonctionnant correctement dans la production, et de la fréquence de clés fonctionnant correctement dans l’échantillon ; la conclusion est la même (remise en cause, au risque de 5 %, de l’affirmation de l’entreprise).

4555019-Eqn107donc le résultat du test remet en cause, au risque de 5 %, la communication de l’entreprise et la proportion annoncée de clés fonctionnant correctement, le résultat du test n’est pas compatible avec l’affirmation de l’entreprise, il est trop éloigné du résultat annoncé par l’entreprise.

Donc la proposition 5 « le test, réalisé sur 1 000 clés, ne remet pas en cause la communication de l’entreprise » est fausse.