Fonctions exponentielles

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ST2S | Thème(s) : Fonctions exponentielles. Fonction logarithme décimal

Premier exercice de type Bac – Fonction exponentielle, résolution d’une inéquation

A. Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0, 5] par : f(t) = 0,8 × (0,61)t.

On note 𝒞 la courbe représentative de cette fonction dans un repère orthogonal du plan. On prend comme unités graphiques 2 cm pour 1 sur l’axe des abscisses et 10 cm pour 1 sur l’axe des ordonnées.

1. a. On admet que la fonction f a même sens de variation sur [0, 5] que la fonction définie sur [0, 5] par t (0,61)t.

En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0, 5].

b. Établir le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [0, 5].

2. a. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats au centième.

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_2

b. On désigne par T, la tangente à la courbe 𝒞 au point d’abscisse 0. On admet que f est dérivable sur [0, 5] et que f'(0) = – 0,4. Déterminer une équation de T.

c. Construire la tangente T puis tracer la courbe 𝒞.

3. Résoudre par le calcul l’inéquation f(t) ≥ 0,2 en donnant les résultats arrondis au centième.

B. Application

Un patient a reçu par injection une substance médicamenteuse. Son sang présente alors une concentration de 0,8 g/l du produit injecté. On note f(t) la valeur de la concentration du produit dans le sang, en fonction du temps écoulé t exprimé en heures. On admet que f est la fonction définie au début de la partie A.

1. De l’étude menée dans la partie A, déduire le temps, exprimé en heures et en minutes, pendant lequel la concentration du produit dans le sang du patient reste supérieure à 0,2 g/l.

2. Quel est le pourcentage qui exprime la baisse de la concentration du produit dans le sang du patient entre la 1re heure et la 4e heure (c’est-à-dire entre les instants t = 1 et t = 4) ?

3. Calculer, pour tout t de [0, 5], Maths_Eqn168.

Donner une interprétation du résultat en utilisant le mot « pourcentage ».

Corrigé

A. 1. a. 0,61 < 1 donc la fonction définie sur [0, 5] par t ↦ (0,61)t est strictement décroissante.

La fonction définie par t ↦ 0,8(0,61)t a le même sens de variation que la fonction définie par t ↦ (0,61)t.

Donc f est strictement décroissante sur [0, 5].

b. f(0) = 0,8 et f(5) = 0,8 × (0,61)5. D’où le tableau de variation de f :

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_1

• Si k > 0, la fonction définie par x  kax a même sens de variation que la fonction définie par x  ax.

• Si k < 0, la fonction définie par x  kax a le sens de variation contraire de la fonction x ax.

2. a. Avec la calculatrice on obtient :

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_0

b. T a une équation de la forme :

y = – 0,4xp.

Le nombre dérivé f’(0) est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 0.

T passe par le point de coordonnées (0 ; 0,8) donc 0,8 = – 0,4 × 0 + p ; p = 0,8.

Une équation de T est y = – 0,4x + 0,8.

c.

Maths_C06_04

3. Les inéquations suivantes sont équivalentes sur [0, 5].

f(t) ≥ 0,2 ; 0,8 × (0,61)t ≥ 0,2 ;

(0,61)t ≥ 0,25 ; log ((0,61)t) ≥ log (0,25) ;

0,61 < 1 ; donc log (0,61) < 0. Quand on divise les deux membres de l’inégalité t log (0,61) ≥ log (0,25), par un nombre négatif, il faut changer le sens de l’inégalité.

tlog (0,61) ≥ log (0,25) ; Maths_Eqn169.

L’ensemble des solutions de l’inéquation est donc : Maths_Eqn170.

B. 1. La concentration du produit reste supérieure à 0,2 g/l pendant 2,8 heures c’est-à-dire 2 + 0,8 × 60, 2 heures 48 minutes.

2. On a Maths_Eqn171.

Maths_Eqn172.

0,22 = 1 – 0,78 ; Maths_Eqn173.

La baisse est de 78 %.

3. Maths_Eqn174 ;

Maths_Eqn175.

Maths_Eqn176.

Toutes les heures, la concentration dans le sang du patient baisse de 39 %.