Fonctions exponentielles

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ST2S | Thème(s) : Fonctions exponentielles. Fonction logarithme décimal

Quatrième exercice de type Bac – Ajustement affine et logarithme décimal

Une population homogène de bactéries placées dans un milieu stable, se multiplie par mitose. Dans ce problème, on va s’intéresser à l’évolution de la densité bactérienne en fonction du temps. La densité bactérienne représente le nombre de bactéries par mm3 et le temps est exprimé en secondes.

1. Une série de six mesures expérimentales a donné les résultats suivants.Maths_C06_06

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_16

Le nuage de points correspondant est donné ci-contre.

La forme de ce nuage incite-t-elle à chercher une droite d’ajustement ?

2. a. On pose y = log (d).

Compléter, après l’avoir reproduit, le tableau suivant. Arrondir les valeurs de y à 10–1.

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_15

b. Construire le nuage de points M(xi, yi) associé à cette série statistique dans un repère orthonormal d’unité graphique 5 cm.

c. Peut-on envisager un ajustement affine du nuage de points obtenu au b. ?

3. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage. Placer le point G sur la figure.

4. Soit la droite d’équation y = 0,88x – 0,3.

a. Construire la droite sur la figure du 2. b.

b. Le point moyen G appartient-il à la droite  ?

5. On admet que la droite réalise un bon ajustement affine du nuage de points.

a. Quelle valeur peut-on prévoir pour y à l’instant x = 4 ?

b. Déterminer alors la valeur de la densité bactérienne. Arrondir à l’unité.

6. Justifier l’affirmation suivante : di = 0,501(7,59)xi, sachant que 0,501 est un résultat arrondi à 10–3 et 7,59 un résultat arrondi à 10–2.

Corrigé

1. Non, car il paraît difficile de faire passer une droite « au plus près du nuage ».

2. a.

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_14

b.

Maths_C06_07

c. Les points sont presque alignés, on peut envisager un ajustement affine du nuage de points.

3. Désignons par (xG, yG) les coordonnées du point moyen G.

xG=0++2,56=1,25 ; yG=0,3++1,96=0,8.

On a G(1,25 ; 0,8).

On peut choisir d’autres abscisses pour les points A et B.

4. a. La droite ∆ passe par le point A(0 ; –0,3) et le point B(2 ; 1,46).

b. 0,88 × 1,25 – 0,3 = 0,8. Donc le point G appartient à la droite ∆.

5. a. 4 × 0,88 – 0,3 = 3,22. À l’instant t = 4, on peut prévoir y = 3,22.

b = log a si et seulement si a = 10b.

b. On a : log d = 3,22, donc d = 103,22 ≈ 1 660. À l’instant t = 4, la densité bactérienne est voisine de 1 660.

ax+yax × ay.

axy = (ax)y.

6. log di = 0,88 xi – 0,3 ; d’où :

di = 100,88xi–0,3 ;   di = 100,88xi × 10–0,3;   di = (100,88)xi × 10–0,3.

En arrondissant à 10–3, on obtient : 10–0,3 ≈ 0,501.

En arrondissant à 10–2, on obtient : 100,88 ≈ 7,59.

D’où, di = 0,501 (7,59)xi.