Fonctions exponentielles

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Fonctions exponentielles

Deuxième exercice de type Bac – Étude d’une fonction

Le repère (O ; i, j) est orthonormé (unité 2 cm).

La courbe ci-dessous est la courbe représentative de la fonction f définie sur ]– , + [ par : f(x) = 2x + 2 – ex.

La droite 𝔇 a pour équation : y = 2x + 2.

Le point A a pour coordonnées (0, 1), le point B (– 1, 0).

On se propose dans ce problème :

– d’étudier graphiquement certaines propriétés de f,

– de justifier par le calcul l’étude des propriétés de f et le tracé de 𝒞.

A. Étude graphique

1. a. Préciser f(0).

b. Déterminer une équation de la droite (AB).

c. La droite (AB) est la tangente à la courbe 𝒞 en A. Préciser f(0).

2. Justifier l’affirmation suivante : l’équation f(x) = 0 possède deux solutions α et β (α < β).

Par lecture graphique, donner un encadrement de chacune de ces solutions par deux entiers consécutifs.

11515_Maths_07_02

B. Étude de f

1. a. Vérifier que, pour tout x non nul, f(x)=2+x2exx.

Déterminer alors limx+f(x).

b. Déterminer limxf(x).

c. Montrer que la droite 𝔇 est asymptote à 𝒞 quand x tend vers – .

Étudier la position de la courbe par rapport à son asymptote.

2. a. Résoudre l’inéquation : 2 – ex > 0.

b. Calculer f(x).

c. Établir le tableau de variation de f.

(On calculera la valeur exacte du maximum.)

3. Déterminer une équation de la tangente à 𝒞 au point d’abscisse 0.

Quel résultat retrouve-t-on ainsi ?

4. On se propose de déterminer un encadrement de β d’amplitude 0,1.

Compléter, après l’avoir reproduit, le tableau suivant :

(Donner les valeurs approchées arrondies à 10–1.)

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_12

En déduire l’encadrement demandé.

Corrigé

A. 1. a. f(0) = 1.

• Le coefficient directeur de la droite (AB) avec A(xAyA) et B(xB, yB) est : 11515_Math_495.

f(a) est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a.

b. Le coefficient directeur de la droite (AB) est : yByAxBxA=0110=1.

Une équation de (AB) est donc de la forme y = x + p.

(AB) passe par A(0, 1) d’où 1 = 0 + p ; d’où l’équation y = x + 1.

c. On en déduit que f′(0) = 1.

2. La courbe 𝒞 coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisses respectives α et β avec – 1 < α < 0 et 1 < β < 2. α et β sont les deux solutions de l’équation f(x) = 0.

B. 1. a. Pour tout x ≠ 0, 2+x2exx=2+2xxexx=2+2xex=f(x).

De limx+exx=+, on déduit que limx+2exx=, donc limx+x×2exx=, d’où limx+f(x)=.

b. limxex=0, d’où limx(ex)=0. De limx(2x+2)= et limx(ex)=0, on déduit que : limxf(x)=.

c. On a, pour tout x de , f(x) = 2x + 2 – ex avec limx(ex)=0. D’où la droite 𝔇 d’équation y = 2x + 2 est asymptote à la courbe 𝒞 en – ∞.

Si f(x) = ax + b + g(x), avec 11515_Math_496, (ou 11515_Math_497),

la droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique en – (ou en + ).

2. a. 2 – ex > 0 équivaut à 2 > ex ; ln 2 > ln(e x) ; ln 2 > x. L’ensemble des solutions de l’inéquation est : ]– ∞, ln 2[.

b. Pour tout x de , f(x) = 2 – ex. Le résultat de a. donne le signe de f(x).

c.

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_11

Au point d’abscisse α, une équation de la tangente est :

y = f(a) (xa) + f(a).

3. Une équation de la tangente à 𝒞 au point d’abscisse 0 est : y = f(0)x + f(0) ; f(0) = 1 et f(0) = 1 ; d’où l’équation : y = x + 1. On retrouve le résultat du A.1.B).

4.

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_10

On a f(1,6) ≈ 0,2 > 0 et f(1,7) ≈ – 0,07 < 0. Donc 1,6 < β < 1,7.