Fonctions exponentielles

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Fonctions exponentielles

Troisième exercice de type Bac – Avec le tableur

On étudie le taux d’équipement des foyers français en téléviseurs. On prend comme « année 0 », 1950 et on dispose des taux d’équipement des années 1958, 1962, 1974 et 1980. Ainsi en 1958, année de rang x = 8, le taux d’équipement était T = 10 % et en 1980, année de rang x = 30 , T = 94 % (part des foyers possédant au moins un téléviseur).

On cherche à modéliser l’évolution du taux T en fonction du rang x de l’année à l’aide d’une fonction « logistique » f d’expression f(x) = 11+aekxa et k sont des réels positifs que l’on cherche à déterminer à l’aide d’un tableur.

1. Le tableur propose un ajustement « exponentiel » par une courbe d’équation y = aekx.

Si l’on pose T = 11+aekx, donner l’expression de aekx en fonction de T.

2. L’ajustement exponentiel est réalisé sur le graphique suivant représentant les points dont les coordonnées figurent en colonnes B et D.

11924_chap05_EX_22

Quelle est la formule qui, entrée en D3, a été recopiée vers le bas jusqu’en D6 ?

3. Le tableur fournit comme ajustement : 1T139,5e0,205x.

La cellule B1 contient la valeur 39,5 et la cellule D1 contient la valeur 0,205.

a. Quelle est, parmi les trois formules suivantes, celle qui, entrée en E3, a été recopiée vers le bas jusqu’en E6 :

=B$1*EXP(-D$1*B$3) ; =$B1*EXP(-$D1*B3) ; =B$1*EXP(-D$1*B3) ?

b. Quelle formule peut-on entrer en F3, puis recopier vers le bas, pour obtenir les valeurs de T calculées selon le modèle logistique ?

4. Estimer, en utilisant la fonction f définie par :

f(x) = 11+39,5e0,205x, le taux d’équipement en téléviseurs en 1970.

Corrigé

1. On a aekx=1T1.

2. La formule entrée en D3 est =1/C3-1.

3. a. La formule entrée en E3 est =B$1*EXP(-D$1*B3).

b. On entre en F3 la formule =1/(1+E3).

4. On a f(20) ≈ 0,604. On estime à 60,4 % le taux d’équipement en 1970.