Fonctions exponentielles

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Fonctions exponentielles

Quatrième exercice de type Bac – Évolution d’une température

On éteint le chauffage dans une pièce d’habitation à 22 h. La température y est alors de 20 °C. On suppose, pour la suite du problème, que la température extérieure est constante et égale à 11 °C. t est le temps écoulé depuis 22 h, exprimé en heures, et f(t) la température de la pièce exprimée en °C. La température de la pièce est donc modélisée par une fonction f définie sur l’intervalle [0, 9].

1. Prévoir le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0, 9]. On admet désormais que la fonction f est définie sur l’intervalle [0, 9] par f(t) = 9e0,12t + 11.

2. Donner une justification mathématique du sens de variation trouvé à la question précédente.

3. Calculer f(9). En donner la valeur arrondie au dixième puis interpréter ce résultat.

4. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, l’heure à partir de laquelle la température est inférieure à 15 °C.

5. Retrouver le résultat précédent en résolvant une inéquation.

Corrigé

1. La température diminue : f est décroissante.

2. Pour tout de [0,9], f(t) = 9(– 0,12e–0,12t) = – 1,08e–0,12t.

Pour tout réel a, ea > 0, donc f(t) < 0 sur [0,9]. f est décroissante sur [0,9].

3. f(9) ≈ 14,1. C’est la température à 7 heures du matin.

4. On obtient t ≈ 6,76. L’heure est 4 h 46 du matin.

5. On résout f(t) ≤ 15, qui est équivalent à 9e–0,12t + 11 ≤ 15 ; 9e–0,12t ≤ 4 ; e–0,12t49 ; ln e–0,12t ≤ ln 49 ; – 0,12t ≤ ln 49 ; t ≥ 10,12×ln496,76. (En divisant par – 0,12 < 0 les deux membres, l'inégalité change de sens.)