Analyse • Fonctions exponentielles
Corrigé
14
Ens. spécifique
matT_1005_12_02C
D’après Pondichéry • Mai 2010
Exercice 3 • 5 points
Partie A
On considère la fonction A définie sur l’intervalle 
par :
et on note 
sa fonction dérivée sur cet intervalle. Montrer que, pour tout 
appartenant à 
:
(1 point)
pour tout 
appartenant à 
.
Dresser le tableau de variations de A sur 
(0,75 point)
Partie B
Un particulier souhaite réaliser auprès d’une banque un emprunt d’un montant de 100 000 € à un taux annuel fixé.
On admet que, si on réalise cet emprunt sur une durée de n années (
), le montant d’une annuité (somme à rembourser chaque année pendant n ans) est donné en milliers d’euros par :
.
Pour un emprunt fait sur n années (
), on note :
le montant total payé à la banque au bout des n années (en milliers d’euros) ;
le total des intérêts payés à la banque au bout des n années (en milliers d’euros).
, 
, 
et interpréter ces résultats. (0,5 point)
pour tout 
. (0,75 point)
| Durée de l’emprunt n |
10 ans |
15 ans |
20 ans |
| Montant d’une annuité A(n) |
|
|
|
| Montant S(n) des n annuités payées à la banque |
|
|
|
| Intérêts I(n) versés à la banque |
|
|
|
Partie A
> 1. Calculer la dérivée d’une fonction
Pour tout 
appartenant à 
:
Attention
La fonction 
est constante, sa dérivée est nulle.
> 2. Étudier les variations d’une fonction
Pour tout 
appartenant à 
:
car la fonction exponentielle est strictement positive sur 
et
.
On en déduit que 
pour tout 
appartenant à 
et que 
Son tableau de variations sur cet intervalle est :
|
|
1 |
|
|
| Signe de |
|
– |
|
| Variations de A |
A(1) |
|
|
Dans les questions qui suivent, on donnera les résultats arrondis au millième.