Fonctions exponentielles. Dérivées usuelles

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2010 | Académie : Pondichéry
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Fonctions exponentielles. Dérivées usuelles

Analyse • Fonctions exponentielles

Corrigé

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Ens. spécifique

matT_1005_12_02C

D’après Pondichéry • Mai 2010

Exercice 3 • 5 points

Partie A

On considère la fonction A définie sur l’intervalle par :

>1. On admet que la fonction A est dérivable sur et on note sa fonction dérivée sur cet intervalle. Montrer que, pour tout appartenant à  :

(1 point)

>2. Justifier que pour tout appartenant à .

Dresser le tableau de variations de A sur (0,75 point)

Partie B

Un particulier souhaite réaliser auprès d’une banque un emprunt d’un montant de 100 000 € à un taux annuel fixé.

On admet que, si on réalise cet emprunt sur une durée de n années (‌), le montant d’une annuité (somme à rembourser chaque année pendant n ans) est donné en milliers d’euros par :

.

Pour un emprunt fait sur n années (), on note :

le montant total payé à la banque au bout des n années (en milliers d’euros) ;

le total des intérêts payés à la banque au bout des n années (en milliers d’euros).

Dans les questions qui suivent, on donnera les résultats arrondis au millième.

>1. Calculer , , et interpréter ces résultats. (0,5 point)

>2. Démontrer que pour tout . (0,75 point)

>3. Recopier et compléter le tableau suivant : (1 point)


Durée de l’emprunt n


10 ans


15 ans


20 ans


Montant d’une annuité A(n)





Montant S(n) des n annuités payées à la banque





Intérêts I(n) versés à la banque




Corrigé

Partie A

>1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout appartenant à  :

Attention

La fonction est constante, sa dérivée est nulle.

>2. Étudier les variations d’une fonction

Pour tout appartenant à  :

 car la fonction exponentielle est strictement positive sur et

.

On en déduit que pour tout appartenant à et que la fonction A est strictement décroissante sur .

Son tableau de variations sur cet intervalle est :



1




Signe de





Variations de A


A(1)