Fonctions exponentielles. Dérivées usuelles

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2010 | Académie : Pondichéry
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Fonctions exponentielles. D&eacute riv&eacute es  usuelles

Analyse &bull Fonctions exponentielles

Corrig&eacute

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Ens. sp&eacute cifique

matT_1005_12_02C

D&rsquo apr&egrave s Pondich&eacute ry &bull Mai 2010

Exercice 3 &bull 5 points

Partie A

On consid&egrave re la fonction A d&eacute finie sur l&rsquo intervalle par  :

&gt 1.  On admet que la fonction A est d&eacute rivable sur et on note sa fonction d&eacute riv&eacute e sur cet intervalle. Montrer que, pour tout appartenant &agrave   :

(1 point)

&gt 2.  Justifier que pour tout appartenant &agrave .

Dresser le tableau de variations de A sur (0,75 point)

Partie B

Un particulier souhaite r&eacute aliser aupr&egrave s d&rsquo une banque un emprunt d&rsquo un montant de 100  000  &euro &agrave un taux annuel fix&eacute .

On admet que, si on r&eacute alise cet emprunt sur une dur&eacute e de n ann&eacute es (&zwnj ), le montant d&rsquo une annuit&eacute (somme &agrave rembourser chaque ann&eacute e pendant n ans) est donn&eacute en milliers d&rsquo euros par  :

.

Pour un emprunt fait sur n ann&eacute es (), on note  :

le montant total pay&eacute &agrave la banque au bout des n ann&eacute es (en milliers d&rsquo euros) 

le total des int&eacute r&ecirc ts pay&eacute s &agrave la banque au bout des n ann&eacute es (en milliers d&rsquo euros).

Dans les questions qui suivent, on donnera les r&eacute sultats arrondis au milli&egrave me.

&gt 1.  Calculer , , et interpr&eacute ter ces r&eacute sultats. (0,5 point)

&gt 2.  D&eacute montrer que pour tout . (0,75  point)

&gt 3.  Recopier et compl&eacute ter le tableau suivant  : (1 point)


Dur&eacute e de l&rsquo emprunt n


10 ans


15 ans


20 ans


Montant d&rsquo une annuit&eacute A(n)





Montant S(n) des n annuit&eacute s pay&eacute es &agrave la banque





Int&eacute r&ecirc ts I(n) vers&eacute s &agrave la banque