Analyse • Fonctions exponentielles
Corrigé
13
Ens. spécifique
matT_1006_10_02C
D’après Madagascar • Juin 2010
Exercice 1 • 5 points
est égal à :
.
.
.
admet sur 
:
admet sur 
:
la fonction définie sur 
par 
et 
sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé. La courbe 
possède :
et 
définies sur un intervalle I telles que 
est une primitive de la fonction 
sur I. On suppose que la fonction 
est croissante sur I. Alors on peut affirmer que :
est positive sur I.
est positive sur I.
est croissante sur I.
Durée conseillée : 40 min.
Les thèmes en jeu
Sens de variation • Fonction logarithme népérien • Fonction exponentielle • Convexité, point d’inflexion • Primitives usuelles.
Les conseils du correcteur
.
.
. Utilisez le théorème sur le sens de variation d’une fonction d’après le signe de sa dérivée.
> 1. Utiliser les propriétés de la fonction exponentielle pour transformer une expression
pour tout réel 
, d’après les propriétés de la fonction exponentielle.
D’autre part, 
.
Attention
Il n’existe aucune propriété concernant l’image d’un quotient par la fonction exponentielle.
et 
sont donc deux réels positifs qui ont le même carré, donc ils sont égaux.
> 2. Résoudre une équation comportant un logarithme
On peut montrer que, pour tout réel 
, 
.
L’ensemble de définition de l’équation est 
.
L’équation 
équivaut successivement à :
; 
; 
; 
;
ou 
.
L’équation admet donc deux solutions dans ℝ.
> 3. Résoudre une équation comportant une exponentielle
équivaut à 
, c’est-à-dire 
.
L’équation 
a une seule solution dans ℝ, 0.
> 4. Déterminer les points d’inflexion d’une courbe
La fonction 
est deux fois dérivable sur 
.
Pour tout réel 
:
; 
;
et 
est du signe de 
.
Le tableau de signes de 
sur 
est le suivant :
Notez bien
On peut vérifier graphiquement le résultat ; on peut observer que les deux points d’inflexion sont symétriques l’un de l’autre par rapport à l’axe des ordonnées.
Puisque 
s’annule et change de signe en 
et en 
, ces nombres sont les abscisses des points d’inflexion de 
.
La courbe représentative de la fonction 
possède donc deux points d’inflexion.
> 5. Exploiter la définition d’une primitive et le lien entre le sens de variation d’une fonction et le signe de sa dérivée
Si g est une primitive de f sur I, alors 
. Puisque 
est croissante sur I, alors 
est positive sur I.
Donc f est positive sur I et
Pour chacune des questions, une seule des réponses a), b) ou c) est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L’absence de réponse ne rapporte aucun point et n’en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à 0.