Analyse • Fonctions exponentielles
Corrigé
13
Ens. spécifique
matT_1006_10_02C
D'après Madagascar • Juin 2010
Exercice 1 • 5 points
est égal à :
la fonction définie sur
par
et
sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé. La courbe
possède :
et
définies sur un intervalle I telles que
est une primitive de la fonction
sur I. On suppose que la fonction
est croissante sur I. Alors on peut affirmer que :
est positive sur I.
Durée conseillée : 40 min.
Les thèmes en jeu
Sens de variation • Fonction logarithme népérien • Fonction exponentielle • Convexité, point d'inflexion • Primitives usuelles.
Les conseils du correcteur
> 1. Utiliser les propriétés de la fonction exponentielle pour transformer une expression
Attention
Il n'existe aucune propriété concernant l'image d'un quotient par la fonction exponentielle.
et
sont donc deux réels positifs qui ont le même carré, donc ils sont égaux.
> 2. Résoudre une équation comportant un logarithme
On peut montrer que, pour tout réel ,
.
L'ensemble de définition de l'équation est .
L'équation équivaut successivement à :
L'équation admet donc deux solutions dans ℝ .
> 3. Résoudre une équation comportant une exponentielle
> 4. Déterminer les points d'inflexion d'une courbe

Notez bien
On peut vérifier graphiquement le résultat on peut observer que les deux points d'inflexion sont symétriques l'un de l'autre par rapport à l'axe des ordonnées.
Puisque s'annule et change de signe en
et en
, ces nombres sont les abscisses des points d'inflexion de
.
La courbe représentative de la fonction possède donc deux points d'inflexion.
Pour chacune des questions, une seule des réponses a), b) ou c) est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à 0.