Fonctions exponentielles. Point d’inflexion

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2010 | Académie : Madagascar
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Fonctions exponentielles. Point d’inflexion

Analyse • Fonctions exponentielles

Corrigé

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Ens. spécifique

matT_1006_10_02C

D’après Madagascar • Juin 2010

Exercice 1 • 5 points

Pour chacune des questions, une seule des réponses a), b) ou c) est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L’absence de réponse ne rapporte aucun point et n’en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à 0.

>1. Le nombre réel est égal à :

a).

b).

c).

>2. L’équation admet sur  :

a) Aucune solution.

b) Une seule solution.

c) Deux solutions.

>3. L’équation admet sur  :

a) Aucune solution.

b) Une seule solution.

c) Deux solutions.

>4. Soit la fonction définie sur par et sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé. La courbe possède :

a) Aucun point d’inflexion.

b) Un seul point d’inflexion.

c) Deux points d’inflexion.

>5. On considère deux fonctions et définies sur un intervalle I telles que est une primitive de la fonction sur I. On suppose que la fonction est croissante sur I. Alors on peut affirmer que :

a) La fonction est positive sur I.

b) La fonction est positive sur I.

c) La fonction est croissante sur I.

Durée conseillée : 40 min.

Les thèmes en jeu

Sens de variation • Fonction logarithme népérien • Fonction exponentielle • Convexité, point d’inflexion • Primitives usuelles.

Les conseils du correcteur

> 2. On rappelle que .

> 4. Utilisez la dérivée seconde de .

> 5. D’après la définition d’une primitive, . Utilisez le théorème sur le sens de variation d’une fonction d’après le signe de sa dérivée.

Corrigé

>1. Utiliser les propriétés de la fonction exponentielle pour transformer une expression

pour tout réel , d’après les propriétés de la fonction exponentielle.

D’autre part, .

Attention

Il n’existe aucune propriété concernant l’image d’un quotient par la fonction exponentielle.

et sont donc deux réels positifs qui ont le même carré, donc ils sont égaux.

La bonne réponse est c).

>2. Résoudre une équation comportant un logarithme

On peut montrer que, pour tout réel , .

L’ensemble de définition de l’équation est .

L’équation équivaut successivement à :

 ;  ;  ;  ;

ou .

L’équation admet donc deux solutions dans ℝ.

La bonne réponse est c).

>3. Résoudre une équation comportant une exponentielle

équivaut à , c’est-à-dire .

L’équation a une seule solution dans ℝ, 0.

La bonne réponse est b).

>4. Déterminer les points d’inflexion d’une courbe

La fonction est deux fois dérivable sur .

Pour tout réel  :

 ;  ;

et est du signe de .

Le tableau de signes de sur est le suivant :


Notez bien

On peut vérifier graphiquement le résultat ; on peut observer que les deux points d’inflexion sont symétriques l’un de l’autre par rapport à l’axe des ordonnées.

Puisque s’annule et change de signe en et en , ces nombres sont les abscisses des points d’inflexion de .

La courbe représentative de la fonction possède donc deux points d’inflexion.

La bonne réponse est c).

>5. Exploiter la définition d’une primitive et le lien entre le sens de variation d’une fonction et le signe de sa dérivée

Si g est une primitive de f sur I, alors . Puisque est croissante sur I, alors est positive sur I.

Donc f est positive sur I et la bonne réponse est b).