Fonctions exponentielles, polynômes et rationnelles

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions - Fonction exponentielle
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Amérique du Sud
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Fonctions exponentielles, polynômes et rationnelles
 
 

Compléments sur les fonctions

matT_1311_03_01C

ENS. SPÉCIFIQUE

12

CORRIGE

 

Amérique du Sud • Novembre 2013

Exercice 1 • 6 points

Partie A

Soit f la fonction définie sur par :

.

>1. Vérifier que pour tout réel x, .

>2. Déterminer la limite de la fonction f en − ∞.

>3. Déterminer la limite de la fonction f en + ∞. Interpréter graphiquement cette limite.

>4. Déterminer la dérivée de la fonction f.

>5. Étudier les variations de la fonction f sur puis dresser le tableau de variations.

Partie B

Pour tout entier n non nul, on considère les fonctions gn et hn définies sur par :

 et .

>1. Vérifier que, pour tout réel x : .

On obtient alors, pour tout réel x ≠ 1 : .

>2. Comparer les fonctions hn et , étant la dérivée de la fonction gn.

En déduire que, pour tout réel x ≠ 1 : .

>3. Soit , f étant la fonction définie dans la partie A.

En utilisant les résultats de la partie B, déterminer une expression de Sn, puis sa limite quand n tend vers +∞.

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Fonctions polynômes et rationnelles • Limites et somme.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Propriétés associées à la fonction exponentielle  E8 Partie A, 1. à 5. ; partie B, 3.
  • Limites usuelles et limites associées à la fonction exponentielle  E5a-E5d • E8c  → Partie A, 2. et 3. ; partie B, 3.
  • Étude des variations d’une fonction  E6c  → Partie A, 5.
  • Dérivation de fonctions  E6e • E6f • E8d  → Partie A, 4. ; partie B, 2.

Nos coups de pouce

Partie B

>2. Dans un premier temps, dérivez à partir de l’expression donnée dans l’énoncé de la partie B (fonction polynôme de degré puis constatez que n’est rien d’autre que la fonction . Dans un deuxième temps, dérivez à partir de l’expression donnée dans l’énoncé de la question 1. (fonction rationnelle). Enfin, concluez.

>3. Dans un premier temps, démontrez, en utilisant l’expression de donnée dans l’énoncé de la partie B (fonction polynôme de degré , que Dans un deuxième temps, calculez, afin de déterminer la limite demandée, l’image de par , en utilisant cette fois-ci l’expression donnée dans l’énoncé de la question 2. (fonction rationnelle). Enfin, concluez à l’aide des « croissances comparées ».

Corrigé

Partie A

>1. Transformer l’écriture d’une fonction

 

Notez bien

Pour tous nombres réels .

Pour tout nombre réel  :

>2. Déterminer la limite d’une fonction

D’une part, .

D’autre part, comme , alors

Par produit,

>3. Déterminer la limite d’une fonction et l’interpréter

Comme (« croissances comparées »), alors

Ainsi,

Nous en déduisons que la droite d’équation (axe des abscisses) est une asymptote à la courbe représentative de la fonction dans un repère du plan.

>4. Dériver une fonction

 

Attention

.

La fonction est le produit de deux fonctions et définies sur par et . Comme et sont dérivables sur , alors la fonction est dérivable sur (produit de fonctions dérivables) et pour tout nombre réel  :

>5. Dresser un tableau de variations

  • Pour tout nombre réel , est strictement positif.

Par suite, le signe de est donné par le signe de qui s’annule en 1.

  • Pour , et donc La fonction est donc strictement décroissante sur l’intervalle
  • Pour , et donc La fonction est donc strictement croissante sur l’intervalle

Ce que nous pouvons résumer par le tableau suivant :


 

Partie B

>1. Vérifier une égalité

Pour tout entier naturel non nul, pour tout nombre réel  :

>2. Comparer des expressions

  • La fonction est dérivable sur comme fonction polynôme de degré ( entier naturel non nul) et pour tout nombre réel  :

Par suite, la fonction est la dérivée de la fonction sur

  • D’après la question précédente, la fonction s’écrit comme le quotient de deux fonctions et définies par et Pour tout nombre réel , ne s’annulant pas, et et étant dérivables, nous avons :

Ainsi, pour tout nombre réel ,

.

>3. Déterminer la limite d’une somme

 

Notez bien

Pour tout réel , .

Pour tout entier naturel non nul,

Or, d’après la question précédente, comme

Comme (« croissances comparées ») alors et donc et .

Comme (« fonction de référence »), alors et donc et .

Nous en concluons que .