Partie A

▶ 1. Transformer l'écriture d'une fonction

Pour tout nombre réel $x$ :

$\text{e}\times \frac{x}{{\text{e}}^x}= \frac{{\text{e}}^1}{{\text{e}}^x}\times x={\text{e}}^{1-x}\times x=f(x).$

▶ 2. Déterminer la limite d'une fonction

D'une part, $\underset{x\to -\infty }{\lim }x= -\infty$.

D'autre part, comme $\underset{x\to -\infty }{\lim }1-x=+\infty$, alors$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\text{e}}^{1-x}=\underset{X\to +\infty }{\lim }{\text{e}}^X=+\infty .$

Par produit, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }x\times {\text{e}}^{1-x}=-\infty$.

▶ 3. Déterminer la limite d'une fonction et l'interpréter

Comme $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\text{e}}^x}{x}=+\infty$ (« croissances comparées »), alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{{\text{e}}^x}=0.$

Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\text{e}\times \frac{x}{{\text{e}}^x}=\text{e}\times \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{{\text{e}}^x}=0.$

Nous en déduisons que la droite d'équation $y=0$ (axe des abscisses) est une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan.

▶ 4. Dériver une fonction

La fonction $f$ est le produit de deux fonctions $u$ et $v$ définies sur $\text{ℝ}$ par $u(x)=x$ et $v(x)={\text{e}}^{1-x}$. Comme $u$ et $v$ sont dérivables sur $\text{ℝ}$, alors la fonction $f$ est dérivable sur $\text{ℝ}$ (produit de fonctions dérivables) et pour tout nombre réel $x$ :

$\begin{array}{c}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=u^{\text{'}}\left(x\right)\times v\left(x\right)+u\left(x\right)\times v^{\text{'}}\left(x\right)\\ =1\times {\text{e}}^{1-x}+x\times (-1\times {\text{e}}^{1-x})\\ = {\text{e}}^{1-x}\times (1-x).\end{array}$

▶ 5. Dresser un tableau de variations

Pour tout nombre réel $x$, ${\text{e}}^{1-x}$ est strictement positif.

Par suite, le signe de $f^{\prime }(x)$ est donné par le signe de $1-x$ qui s'annule en 1.

Pour $x>1$, et donc La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l'intervalle $[1 ; +\infty [.$

Pour $x<mn>1</mn>$, $1-x>0$ et donc $f^{\prime }(x)>0.$ La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l'intervalle $]-\infty ; 1].$

$f(1)=1\times {\text{e}}^{1-1}={\text{e}}^0=1.$

Ce que nous pouvons résumer par le tableau suivant :

Partie B

▶ 1. Vérifier une égalité

Pour tout entier naturel $n$ non nul, pour tout nombre réel $x$ :

$\begin{array}{c}(1-x)\times g_n\left(x\right) = g_n\left(x\right)-x\times g_n\left(x\right)\\ =(1+x+x^2+\dots +x^n)-x\times (1+x+x^2+\dots +x^n)\\ =(1+x+x^2+\dots +x^n)-(x+x^2+x^3+\dots +x^{n+1})\\ = 1+x+x^2+\dots +x^n-x-x^2-x^3\dots -x^n- x^{n+1}\\ =1-x^{n+1}.\end{array}$

▶ 2. Comparer des expressions

La fonction $g_n$ est dérivable sur $\text{ℝ}$ comme fonction polynôme de degré $n$ ($n$ entier naturel non nul) et pour tout nombre réel $x$ :

${g^{\prime }}_n(x)=0+1+2\times x+\dots +n\times x^{n-1}= h_n(x).$

Par suite, la fonction $h_n$ est la dérivée de la fonction $g_n$ sur $\text{ℝ}.$

D'après la question précédente, la fonction $g_n$ s'écrit comme le quotient de deux fonctions $u$ et $v$ définies par $u(x)=1-x^{n+1}$ et $v(x)=1-x.$ Pour tout nombre réel $x\ne 1$, $v(x)$ ne s'annulant pas, et $u$ et $v$ étant dérivables, nous avons :

$\begin{array}{c}{g^{\prime }}_n(x)=\frac{u^{\prime }(x)\times v(x)-u(x)\times v^{\prime }(x)}{{(v(x))}^2}\\ = \frac{-(n+1)\times x^n\times (1-x)-(1-x^{n+1})\times (-1)}{{(1-x)}^2}\\ =\frac{-(n+1)x^n+(n+1)x^{n+1}+(1-x^{n+1})}{{(1-x)}^2}\\ = \frac{n{x}^{n+1}-(n+1)x^n+1}{{(1-x)}^2}.\end{array}$

Ainsi, pour tout nombre réel $x\ne 1$,

$h_n(x)={g^{\prime }}_n(x)= \frac{n{x}^{n+1}-(n+1)x^n+1}{{(1-x)}^2}$.

▶ 3. Déterminer la limite d'une somme

Pour tout entier naturel $n$ non nul,

$\begin{array}{c}{S}_n=f(1)+f(2)+\dots +f(n)\\ =1\times {\text{e}}^{1-1}+2\times {\text{e}}^{1-2}+\dots +n\times {\text{e}}^{1-n}\\ =1+2\times {\text{e}}^{-1}+\dots +n\times {({\text{e}}^{-1})}^{n-1}\\ =1+2\times \left(\frac{1}{\text{e}}\right)+\dots +n\times {\left(\frac{1}{\text{e}}\right)}^{n-1}\\ =h_n\left(\frac{1}{\text{e}}\right).\end{array}$

Or, d'après la question précédente, comme $\frac{1}{\text{e}} \ne 1,$

$\begin{array}{l}{S}_n=h_n\left(\frac{1}{\text{e}}\right)= \frac{n\times {\left(\frac{1}{\text{e}}\right)}^{n+1}-\left(n+1\right)\times {\left(\frac{1}{\text{e}}\right)}^n+1}{{\left(1-\frac{1}{\text{e}}\right)}^2}\\ = \frac{\frac{n}{{\text{e}}^{n+1}}-\frac{n+1}{{\text{e}}^n}+1}{{\left(\frac{\text{e}-1}{\text{e}}\right)}^2}\\ =\frac{\frac{n+1}{{\text{e}}^{n+1}}-\frac{1}{{\text{e}}^{n+1}}-\frac{n}{{\text{e}}^n}-\frac{1}{{\text{e}}^n}+1}{\frac{{(\text{e}-1)}^2}{{\text{e}}^2}}\\ = \frac{{\text{e}}^2}{{(\text{e}-1)}^2}\times \left(\frac{n+1}{{\text{e}}^{n+1}}-\frac{1}{{\text{e}}^{n+1}}-\frac{n}{{\text{e}}^n}-\frac{1}{{\text{e}}^n}+1\right).\end{array}$

Comme $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\text{e}}^x}{x}=+\infty$ (« croissances comparées ») alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{{\text{e}}^x}=0$ et donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+1}{{\text{e}}^{n+1}}=0$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n}{{\text{e}}^n}=0$.

Comme $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\text{e}}^x=+\infty$ (« fonction de référence »), alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{{\text{e}}^x}=0$ et donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{{\text{e}}^n}=0$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{{\text{e}}^{n+1}}=0$.

Nous en concluons que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n= \frac{{\text{e}}^2}{{(\text{e}-1)}^2}$.