Fonctions logarithme népérien. Sens de variation

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2010 | Académie : Moyen-Orient
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
&nbsp
Fonctions logarithme n&eacute p&eacute rien. Sens  de  variation

Analyse &bull Fonction logarithme n&eacute p&eacute rien

Corrig&eacute

18

Ens. sp&eacute cifique

matT_1006_09_01C

D&rsquo apr&egrave s Liban &bull Juin 2010

Exercice 3 &bull 6 points

Partie A

On consid&egrave re la fonction d&eacute finie sur l&rsquo intervalle ]0  20] par  :

&gt 1.  Calculer la valeur exacte de , puis une valeur approch&eacute e &agrave 0,01 pr&egrave s. (0,75  point)

&gt 2.  Montrer que, pour tout de ]0  20], , o&ugrave   &shy d&eacute signe la d&eacute riv&eacute e de la fonction . (0,75  point)

&gt 3.  On admet que la fonction d&eacute riv&eacute e est strictement d&eacute croissante sur ]0  20], et que son tableau de variations est le suivant  :


a)  &Agrave l&rsquo aide du tableau de variations, donner le signe de pour appartenant &agrave l&rsquo intervalle ]0  20]. (0,5 point)

b)  D&eacute terminer le sens de variation de la fonction sur l&rsquo intervalle ]0    20] et dresser son tableau de variations sur cet intervalle. (0,75  point)

&gt 4.a)  Montrer que, sur l&rsquo intervalle [0,6  0,7], l&rsquo &eacute quation poss&egrave de une unique solution not&eacute e . &Agrave la calculatrice, donner une valeur approch&eacute e de &agrave 0,001 pr&egrave s par exc&egrave s. (1 point)

b)  D&eacute montrer que est n&eacute gatif pour tout et que est positif pour tout (0,75 point)

Partie B

Une entreprise produit et vend chaque semaine milliers de DVD,   appartenant &agrave ]0  20].

Le b&eacute n&eacute fice r&eacute alis&eacute est &eacute gal &agrave milliers d&rsquo euros, o&ugrave est la fonction &eacute tudi&eacute e dans la partie  A.

En utilisant les r&eacute sultats de la partie  A  :

&gt 1.  D&eacute terminer le nombre minimal de DVD &agrave fabriquer pour que le b&eacute n&eacute fice soit positif. (0,75 point)

&gt 2.  D&eacute terminer le nombre de DVD &agrave produire pour que le b&eacute n&eacute fice soit maximal, ainsi que la valeur, &agrave 10  euros pr&egrave s, de ce b&eacute n&eacute fice maximal. (0,75 point)

Dur&eacute e conseill&eacute e  : 50  min.

Les th&egrave mes en jeu

D&eacute riv&eacute es usuelles &bull Sens de variation &bull Th&eacute or&egrave me des valeurs interm&eacute diaires &bull Fonction logarithme n&eacute p&eacute rien.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt     3.  a)  Attention  ! Le tableau de variations donn&eacute est celui de et non celui de .

b)  Pour d&eacute terminer le sens de variation de , utilisez les conclusions de la question pr&eacute c&eacute dente.

&gt     4.  a)  Utilisez le th&eacute or&egrave me des valeurs interm&eacute diaires.

b)  Exploitez les variations de .

Partie B

&gt     1.  Exploitez les r&eacute sultats de la question 4.  b) de la partie A.

&gt     2.  Exploitez les r&eacute sultats de la question 3.  b) de la partie A.