Fonctions logarithme népérien. Sens de variation

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2010 | Académie : Moyen-Orient
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Fonctions logarithme népérien. Sens  de  variation

Analyse • Fonction logarithme népérien

Corrigé

18

Ens. spécifique

matT_1006_09_01C

D’après Liban • Juin 2010

Exercice 3 • 6 points

Partie A

On considère la fonction définie sur l’intervalle ]0  20] par  :

>1.  Calculer la valeur exacte de , puis une valeur approchée à 0,01 près. (0,75  point)

>2.  Montrer que, pour tout de ]0  20], , où  ­ désigne la dérivée de la fonction . (0,75  point)

>3.  On admet que la fonction dérivée est strictement décroissante sur ]0  20], et que son tableau de variations est le suivant  :


a)  À l’aide du tableau de variations, donner le signe de pour appartenant à l’intervalle ]0  20]. (0,5 point)

b)  Déterminer le sens de variation de la fonction sur l’intervalle ]0    20] et dresser son tableau de variations sur cet intervalle. (0,75  point)

>4.a)  Montrer que, sur l’intervalle [0,6  0,7], l’équation possède une unique solution notée . À la calculatrice, donner une valeur approchée de à 0,001 près par excès. (1 point)

b)  Démontrer que est négatif pour tout et que est positif pour tout (0,75 point)

Partie B

Une entreprise produit et vend chaque semaine milliers de DVD,   appartenant à ]0  20].

Le bénéfice réalisé est égal à milliers d’euros, où est la fonction étudiée dans la partie  A.

En utilisant les résultats de la partie  A  :

>1.  Déterminer le nombre minimal de DVD à fabriquer pour que le bénéfice soit positif. (0,75 point)

>2.  Déterminer le nombre de DVD à produire pour que le bénéfice soit maximal, ainsi que la valeur, à 10  euros près, de ce bénéfice maximal. (0,75 point)

Durée conseillée  : 50  min.

Les thèmes en jeu

Dérivées usuelles • Sens de variation • Théorème des valeurs intermédiaires • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

Partie A

>    3.  a)  Attention  ! Le tableau de variations donné est celui de et non celui de .

b)  Pour déterminer le sens de variation de , utilisez les conclusions de la question précédente.

>    4.  a)  Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.

b)  Exploitez les variations de .

Partie B

>    1.  Exploitez les résultats de la question 4.  b) de la partie A.

>    2.  Exploitez les résultats de la question 3.  b) de la partie A.

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