Fonctions logarithme népérien. Sens de variation

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2010 | Académie : Moyen-Orient
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Fonctions logarithme népérien. Sens de variation

Analyse • Fonction logarithme népérien

Corrigé

18

Ens. spécifique

matT_1006_09_01C

D’après Liban • Juin 2010

Exercice 3 • 6 points

Partie A

On considère la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; 20] par :

>1. Calculer la valeur exacte de , puis une valeur approchée à 0,01 près. (0,75 point)

>2. Montrer que, pour tout de ]0 ; 20], , où ­ désigne la dérivée de la fonction . (0,75 point)

>3. On admet que la fonction dérivée est strictement décroissante sur ]0 ; 20], et que son tableau de variations est le suivant :


a) À l’aide du tableau de variations, donner le signe de pour appartenant à l’intervalle ]0 ; 20]. (0,5 point)

b) Déterminer le sens de variation de la fonction sur l’intervalle ]0 ; 20] et dresser son tableau de variations sur cet intervalle. (0,75 point)

>4.a) Montrer que, sur l’intervalle [0,6 ; 0,7], l’équation possède une unique solution notée . À la calculatrice, donner une valeur approchée de à 0,001 près par excès. (1 point)

b) Démontrer que est négatif pour tout et que est positif pour tout (0,75 point)

Partie B

Une entreprise produit et vend chaque semaine milliers de DVD,  appartenant à ]0 ; 20].

Le bénéfice réalisé est égal à milliers d’euros, où est la fonction étudiée dans la partie A.

En utilisant les résultats de la partie A :

>1. Déterminer le nombre minimal de DVD à fabriquer pour que le bénéfice soit positif. (0,75 point)

>2. Déterminer le nombre de DVD à produire pour que le bénéfice soit maximal, ainsi que la valeur, à 10 euros près, de ce bénéfice maximal. (0,75 point)

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes en jeu

Dérivées usuelles • Sens de variation • Théorème des valeurs intermédiaires • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  3. a) Attention ! Le tableau de variations donné est celui de et non celui de .

b) Pour déterminer le sens de variation de , utilisez les conclusions de la question précédente.

>  4. a) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires.

b) Exploitez les variations de .

Partie B

>  1. Exploitez les résultats de la question 4. b) de la partie A.

>  2. Exploitez les résultats de la question 3. b) de la partie A.

Corrigé

Partie A

>1. Calculer l’image d’un nombre par une fonction

>2. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout de ]0 ; 20], .

Attention

est une constante.

D’où, pour tout de ]0 ; 20] :

>3.a) Étudier le signe d’une fonction

est strictement décroissante sur ]0 ; 20] et , donc :

b) Étudier les variations d’une fonction

Des résultats précédents on déduit que f est strictement croissante sur , strictement décroissante sur [.

Le tableau de variations de est donc le suivant :


Notez bien

admet un maximum en .

>4.a) Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer qu’une équation a une solution et déterminer une valeur approchée de cette solution

, donc .

est continue et strictement croissante sur l’intervalle [0,6 ; 0,7] ; d’après la calculatrice, et en arrondissant au millième, donc . D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation possède une unique solution dans l’intervalle [0,6 ; 0,7].

D’après la calculatrice, en arrondissant au millième. Donc , ce qui entraîne .

Donc, est une valeur approchée de à 0,001 près par excès.

b) Étudier le signe d’une fonction

et est strictement décroissante sur , donc pour tout .

est strictement croissante sur et avec , donc :

  • pour tout ,  ;
  • pour tout ,  ;
  • .

Finalement :

Partie B

>1. Étudier un bénéfice

Puisque représente le bénéfice (en milliers d’euros) produit par la fabrication et la vente de milliers de DVD, on en déduit d’après les résultats de la question 4. a) de la partie A, que le bénéfice est positif pour un nombre minimal de milliers de DVD produits.

Or on a vu qu’une valeur approchée de par excès à 0,001 près est 0,629 ; on en déduit que le nombre minimal de DVD à produire pour réaliser un bénéfice positif est 629 DVD.

>2. Évaluer un bénéfice maximal

De même, on a vu lors de l’étude des variations de la fonction à la question 3. b) de la partie A que la fonction atteint son maximum en et en arrondissant au millième.

en arrondissant au centième.

On en déduit que le bénéfice maximal est obtenu pour une production de 7 389 DVD et que ce bénéfice maximal, arrondi à la dizaine d’euros, est de 39 560 €.