Fonctions logarithmes

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Fonctions logarithmes

Premier exercice de type bac – Résolution d’une inéquation an b

Un laboratoire pharmaceutique souhaite tester le temps de réaction d’un nouvel antibiotique contre le bacille de Koch responsable des tuberculoses. Pour cela, on dispose d’une culture de 1010 bactéries dans laquelle on introduit l’antibiotique. On remarque que le nombre de bactéries est divisé par quatre toutes les heures.

On note u0 le nombre de bactéries au moment de l’introduction de l’antibiotique.

Soit (un), la suite représentant le nombre de bactéries, contenues dans la culture, n heures après l’introduction de l’antibiotique.

1. Exprimer un+1 en fonction de un.

2. En déduire que la suite (un) est une suite géométrique de raison 0,25.

3. Exprimer un en fonction de n.

4. Calculer u13, arrondir à l’unité.

5. Déterminer au bout de combien d’heures le nombre de bactéries deviendra inférieur à 100.

Corrigé

1. Pour tout entier naturel n, on a un+1=un4.

2. Pour tout entier naturel n, on a un+1 = 0,25 × un, donc (un) est une suite géométrique de raison 0,25.

3. On en déduit que, pour tout naturel n, un = u0 × (0,25)n,
d’où un = 1010 × (0,25)n.

Si (un) est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, pour tout entier n, un = u0 qn.

4. u13 = 1010 × (0,25)13 ≈ 149.

5. On cherche n tel que un 100, c’est-à-dire :

1010 (0,25)n 100 ; (0,25)n 1021010 ; (0,25)n 10–8.

La fonction ln est strictement croissante sur ]0, + ∞[ donc, pour tous nombres réels strictement positifs a et b, a b est équivalent à : ln a ln b.

D’où : ln [(0,25)n] ln (10–8) ;
n ln (0,25) – 8 ln 10 ;

• Pour tout nombre entier relatif n et tout nombre réel strictement positif a, ln an = n ln a.

• Pour tout x de ]0, 1[ ln x < 0.

0,25 < 1 ; donc ln (0,25) < 0, en divisant les deux membres de l’inégalité par un même nombre négatif, ln (0,25), elle change
de sens.

n 8ln10ln(0,25).

8ln10ln(0,25)13,28.

On peut prendre n = 14. Au bout de 14 heures, le nombre de bactéries devient inférieur à 100.