Fumeur, arrête de fumer !

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Mai 2015

Exercice 4 • 5 points

Fumeur, arrête de fumer !

Un fumeur décide d’arrêter de fumer. On choisit d’utiliser la modélisation suivante :

s’il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ;

s’il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.

On appelle pn la probabilité de ne pas fumer le n-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer et qn la probabilité de fumer le n-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer.

On suppose que p0 = 0 et q0 = 1.

1. Calculer p1 et q1.

2. On utilise un tableur pour automatiser le calcul des termes successifs des suites (pn) et (qn). Une copie d’écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous :

A

B

C

D

1

n

pn

qn

2

0

0

1

3

1

4

2

5

3

Dans la colonne A figurent les valeurs de l’entier naturel n.

Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu’en les recopiant vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes B et C les termes successifs des suites (pn) et (qn) ?

3. On définit les matrices M et, pour tout entier naturel n, Xn par :

1111562-Eqn7 et 1111562-Eqn8.

On admet que Xn+1 = M × Xn et que, pour tout entier naturel n, Xn = Mn × X0.

On définit les matrices A et B par 1111562-Eqn9 et 1111562-Eqn10.

a) Démontrer que M = A + 0,5B.

b) Vérifier que A2 = A, et que A × B = B × A = 1111562-Eqn11.

On admet dans la suite que, pour tout entier naturel n strictement positif, An = A et Bn = B.

c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, Mn = A + 0,5nB.

d) En déduire que, pour tout entier naturel n, pn = 0,8 – 0,8 × 0,5n.

e) À long terme, peut-on affimer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Suites • Probabilités • Tableur.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Arbre pondéré  E37 1. et 2.

Raisonnement par récurrence  E1 3. c)

Suites et limites  E2c • E4d 3. e)

Calculatrice

Calcul matriciel  C5 3. a) et 3. b)

Nos coups de pouce

1. et 2. Représentez les situations par un arbre pondéré. Identifiez les différents chemins sur l’arbre associés à l’événement étudié. Concluez par le calcul de la probabilité correspondante.

3. d) Utilisez le résultat admis dans l’énoncé de la question 3. en prenant en compte l’égalité matricielle démontrée à l’aide d’une récurrence à la question 3. c).

3. e) Calculez la limite de la suite 1111562-Eqn34 quand 1111562-Eqn35 tend vers l’infini. Interprétez.