Fumeur, arrête de fumer !

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Mai 2015

Exercice 4 • 5 points

Fumeur, arrête de fumer !

Un fumeur décide d’arrêter de fumer. On choisit d’utiliser la modélisation suivante :

s’il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ;

s’il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.

On appelle pn la probabilité de ne pas fumer le n-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer et qn la probabilité de fumer le n-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer.

On suppose que p0 = 0 et q0 = 1.

1. Calculer p1 et q1.

2. On utilise un tableur pour automatiser le calcul des termes successifs des suites (pn) et (qn). Une copie d’écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous :

A

B

C

D

1

n

pn

qn

2

0

0

1

3

1

4

2

5

3

Dans la colonne A figurent les valeurs de l’entier naturel n.

Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu’en les recopiant vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes B et C les termes successifs des suites (pn) et (qn) ?

3. On définit les matrices M et, pour tout entier naturel n, Xn par :

1111562-Eqn7 et 1111562-Eqn8.

On admet que Xn+1 = M × Xn et que, pour tout entier naturel n, Xn = Mn × X0.

On définit les matrices A et B par 1111562-Eqn9 et 1111562-Eqn10.

a) Démontrer que M = A + 0,5B.

b) Vérifier que A2 = A, et que A × B = B × A = 1111562-Eqn11.

On admet dans la suite que, pour tout entier naturel n strictement positif, An = A et Bn = B.

c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, Mn = A + 0,5nB.

d) En déduire que, pour tout entier naturel n, pn = 0,8 – 0,8 × 0,5n.

e) À long terme, peut-on affimer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Matrices • Suites • Probabilités • Tableur.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

Arbre pondéré  E37 1. et 2.

Raisonnement par récurrence  E1 3. c)

Suites et limites  E2c • E4d 3. e)

Calculatrice

Calcul matriciel  C5 3. a) et 3. b)

Nos coups de pouce

1. et 2. Représentez les situations par un arbre pondéré. Identifiez les différents chemins sur l’arbre associés à l’événement étudié. Concluez par le calcul de la probabilité correspondante.

3. d) Utilisez le résultat admis dans l’énoncé de la question 3. en prenant en compte l’égalité matricielle démontrée à l’aide d’une récurrence à la question 3. c).

3. e) Calculez la limite de la suite 1111562-Eqn34 quand 1111562-Eqn35 tend vers l’infini. Interprétez.

Corrigé

Corrigé

1. Déterminer une probabilité

D’après l’énoncé, si le fumeur ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9. Par conséquent, il fume le jour suivant avec une probabilité égale à 1111562-Eqn348. De même, si le fumeur fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6. Ainsi, la probabilité que le jour suivant il ne fume pas est égale à 1111562-Eqn349. Nous pouvons ainsi représenter la situation au bout du premier jour par l’arbre pondéré suivant, en désignant par 1111562-Eqn350 l’événement : « le fumeur fume le 1111562-Eqn351-ième jour » et par 1111562-Eqn352 son événement contraire :

matT_1505_09_02C_09

Notez bien

Comme somme des probabilités d’événements contraires : 1111562-Eqn357

1111562-Eqn353 est la probabilité que le premier jour après sa décision, le fumeur ne fume pas. Par lecture de l’arbre pondéré, nous avons : 1111562-Eqn354.

1111562-Eqn355 est la probabilité que le premier jour après sa décision, le fumeur fume. Par lecture de l’arbre pondéré, nous avons : 1111562-Eqn356.

2. Compléter une cellule dans un tableur

Similairement à la question précédente, nous pouvons représenter la situation par l’arbre pondéré suivant :

matT_1505_09_02C_10

La probabilité qu’un fumeur le jour suivant d’un jour donné ne fume pas est :

1111562-Eqn358.

Dans la cellule B3, nous pouvons ainsi saisir la formule « =C2*0,4+B2*0,9 ».

Remarque. Comme 1111562-Eqn359, 1111562-Eqn360. Nous pouvons également saisir la formule « =0,5*B2+0,4 ».

La probabilité qu’un fumeur le jour suivant d’un jour donné fume est alors :

1111562-Eqn361.

Dans la cellule C3, nous pouvons ainsi saisir la formule « =C2*0,6+B2*0,1 ».

Remarque. L’événement contraire de « un fumeur le jour suivant d’un jour donné fume » est naturellement l’événement « un fumeur le jour suivant d’un jour donné ne fume pas ». La formule « =1-B3 » peut également être saisie dans la cellule C3.

3. a) Vérifier une égalité matricielle

Nous avons :

Notez bien

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

1111562-Eqn362

b) Vérifier une égalité matricielle

Nous avons d’une part :

Notez bien

Vous pouvez vérifier vos résultats à l’aide de la calculatrice  C5 .

1111562-Eqn363

d’autre part,

1111562-Eqn364

et

1111562-Eqn365

Ainsi, 1111562-Eqn366.

c) Établir une égalité matricielle à l’aide d’un raisonnement par récurrence

Soit 1111562-Eqn367 la propriété : 1111562-Eqn368.

Initialisation

Notez bien

1111562-Eqn369 est la matrice identité d’ordre 2.

D’une part, par convention 1111562-Eqn370

et d’autre part,

1111562-Eqn371

Ainsi, 1111562-Eqn372 et la propriété 1111562-Eqn373 est donc vraie.

Hérédité

Nous supposons que la propriété 1111562-Eqn374 est vraie pour un entier naturel 1111562-Eqn375. Démontrons alors que la propriété 1111562-Eqn376 est vraie.

1111562-Eqn377

1111562-Eqn378 (1111562-Eqn379 est vraie)

1111562-Eqn380 (question 3. a))

1111562-Eqn381

1111562-Eqn382 (question 3. b))

1111562-Eqn383 (résultats admis question 3. c)) : n = 2).

La propriété 1111562-Eqn384 est donc vraie.

Conclusion

De l’axiome de récurrence, nous en déduisons que pour tout entier naturel 1111562-Eqn385, 1111562-Eqn386.

d) Établir une égalité

D’après l’énoncé de la question 3., nous avons pour tout entier naturel 1111562-Eqn3871111562-Eqn388.

Or, 1111562-Eqn3891111562-Eqn390 (question 1.) et

1111562-Eqn391

Par suite,

1111562-Eqn392

Par identification, nous avons pour tout entier naturel 1111562-Eqn393, 1111562-Eqn394.

e) Déterminer une limite et l’interpréter

Comme 1111562-Eqn395 alors 1111562-Eqn396. Par produit et différence, nous avons alors :1111562-Eqn397. À long terme, la probabilité que le fumeur arrête de fumer est de 0,8. Nous ne pouvons donc pas affirmer avec certitude qu’à long terme, il arrêtera de fumer.