Maths
mat3_1600_00_07C
Utiliser la géométrie plane pour démontrer
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Sujet inédit • Espace et géométrie
Exercice • 6 points
Funiculaire de Montmartre
Un funiculaire est une remontée mécanique circulant sur des rails. Il en existe un à Paris, sur la butte Montmartre, pour accéder à la basilique du Sacré-Cœur.
▶ 1. Quelle est la longueur AC du funiculaire ? Arrondir au mètre.
▶ 2. Quel est l'angle 
de la pente ? Arrondir au degré.
▶ 3. Le funiculaire transporte les personnes en 1 min 20 s, du départ à l'arrivée. Quelle est sa vitesse en m/s ?
▶ 4. Deux règles de sécurité doivent être observées :
le funiculaire ne peut transporter plus de 60 personnes à la fois ;
la masse totale des personnes transportées ne doit pas excéder 4 t.
12 adultes de 72 kg et 35 enfants de 40 kg veulent utiliser en même temps le funiculaire. La sécurité est-elle bien respectée ? Justifier.
Les clés du sujet
Points du programme
Théorème de Pythagore • Trigonométrie • Vitesse moyenne • Opérations de base • Conversion de masses.
Nos coups de pouce
▶ 1. La différence d'altitude donne la longueur AB.
▶ 3. La formule de la vitesse est 
où d est la distance parcourue (en m) et t le temps mis pour parcourir cette distance (en s).
▶ 4. 1 t = 1 000 kg.
Corrigé
▶ 1. Calculons d'abord AB. AB s'obtient par soustraction des deux altitudes :
AB = 118 – 81 = 37 m.
Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore, on a :
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 372 + 1012
AC2 = 1 369 + 10 201
AC2 = 11 570
AC = 
≈ 
.
▶ 2. Dans le triangle ABC rectangle en B, on calcule la tangente de l'angle 
:
Astuce
On aurait aussi pu calculer 
ou 
mais en prenant garde d'utiliser la valeur exacte de BC.
.
Donc 
.
▶ 3. La distance parcourue par le funiculaire est d = 108 m, le temps mis est t = 1 min 20 s = 60 s + 20 s = 80 s. Donc :
.
▶ 4. 12 + 35 = 47 personnes.
Le nombre total de personnes désirant entrer dans le funiculaire est de 47. C'est un nombre inférieur à 60, donc la première condition est vérifiée.
12 × 72 + 35 × 40 = 2 264 kg.
La masse totale des personnes désirant entrer dans le funiculaire est de 2 264 kg soit 2,264 t.
C'est un nombre inférieur à 4, donc la seconde condition est vérifiée.
Conclusion : la sécurité est bien respectée.