Funiculaire de Montmartre

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la géométrie plane pour démontrer
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Inédit


Sujet inédit • Espace et géométrie

Exercice • 6 points

Funiculaire de Montmartre

Un funiculaire est une remontée mécanique circulant sur des rails. Il en existe un à Paris, sur la butte Montmartre, pour accéder à la basilique du Sacré-Cœur.

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1. Quelle est la longueur AC du funiculaire ? Arrondir au mètre.

2. Quel est l’angle 520466-Eqn1 de la pente ? Arrondir au degré.

3. Le funiculaire transporte les personnes en 1 min 20 s, du départ à l’arrivée. Quelle est sa vitesse en m/s ?

4. Deux règles de sécurité doivent être observées :

le funiculaire ne peut transporter plus de 60 personnes à la fois ;

la masse totale des personnes transportées ne doit pas excéder 4 t.

12 adultes de 72 kg et 35 enfants de 40 kg veulent utiliser en même temps le funiculaire. La sécurité est-elle bien respectée ? Justifier.

Les clés du sujet

Points du programme

Théorème de Pythagore • Trigonométrie • Vitesse moyenne • Opérations de base • Conversion de masses.

Nos coups de pouce

1. La différence d’altitude donne la longueur AB.

3. La formule de la vitesse est 520466-Eqn2d est la distance parcourue (en m) et t le temps mis pour parcourir cette distance (en s).

4. 1 t = 1 000 kg.

Corrigé

Corrigé

1. Calculons d’abord AB. AB s’obtient par soustraction des deux altitudes :

AB = 118 – 81 = 37 m.

Dans le triangle ABC rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore, on a :

AC2 = AB2 + BC2

AC2 = 372 + 1012

AC2 = 1 369 + 10 201

AC2 = 11 570

AC = 520466-Eqn3520466-Eqn3b.

2. Dans le triangle ABC rectangle en B, on calcule la tangente de l’angle 520466-Eqn4 :

Astuce

On aurait aussi pu calculer 520466-Eqn7 ou 520466-Eqn8 mais en prenant garde d’utiliser la valeur exacte de BC.

520466-Eqn5.

Donc 520466-Eqn6520466-Eqn6b.

3. La distance parcourue par le funiculaire est d = 108 m, le temps mis est t = 1 min 20 s = 60 s + 20 s = 80 s. Donc :

520466-Eqn9520466-Eqn9b.

4. 12 + 35 = 47 personnes.

Le nombre total de personnes désirant entrer dans le funiculaire est de 47. C’est un nombre inférieur à 60, donc la première condition est vérifiée.

12 × 72 + 35 × 40 = 2 264 kg.

La masse totale des personnes désirant entrer dans le funiculaire est de 2 264 kg soit 2,264 t.

C’est un nombre inférieur à 4, donc la seconde condition est vérifiée.

Conclusion : la sécurité est bien respectée.