Terminale générale Mathématiques Sommes de variables aléatoires

Probabilités

Sommes de variables aléatoires

matT_2000_00_53C

Sommes de variables aléatoires

Gain à deux au casino

40 min

4 points

Intérêt du sujet • Deux amis vont au casino et jouent à des jeux différents. Leur objectif est de comparer les jeux en estimant leurs espérances de gains. Après 100 parties chacun, que leur restera-t-il ? L'exercice commence par l'étude théorique de la somme de deux variables aléatoires de lois données.

▶ 1. On considère deux variables aléatoires indépendantes X et Y dont les lois respectives sont données par les tableaux suivants :

Tableau de 2 lignes, 8 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : j; −1; 1; ; k; −1; 1; 3; Ligne 2 : P(X=j); 12; 12; P(Y=k); 1625; 825; 125;

a) On pose $S = X + Y$ . Déterminer la loi de la variable aléatoire S.

b) Calculer l'espérance de S.

▶ 2. Alice et Bob passent une soirée au casino. Alice joue à la roulette ; on suppose qu'il y a autant de cases rouges que de cases noires. Elle mise 1 € sur la couleur rouge. Si elle gagne, elle double sa mise ; sinon, la mise est perdue.

Bob pour sa part joue, indépendamment, à une machine à sous. Chaque partie coûte 1 € et consiste à trouver un code aléatoire composé de deux chiffres entre 1 et 5. Si Bob trouve le bon code, la machine lui rend 4 € ; s'il trouve un seul bon numéro, la machine lui rend 2 €.

a) Comparer les deux jeux.

b) Si chacun joue 100 parties, avec quel gain total les deux amis quitteront-ils le casino en moyenne ?

Les clés du sujet

▶ 1. a) Déterminez dans un premier temps les valeurs prises par S.

b) Il y a deux méthodes. L'une des deux utilise le résultat de la question précédente, l'autre la linéarité de l'espérance.

Utilisez les résultats de la question précédente.

▶ 2. a) Vous pouvez déterminer pour chacun des deux jeux la probabilité de gagner (c'est-à-dire d'avoir un gain strictement positif) et l'espérance de gain.

b) Utilisez la question 1.

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▶ 1. a) Déterminer la loi de la somme de deux variables aléatoires

On peut par exemple faire un arbre, les valeurs indiquées en rouge sont celles prises par la variable S.

Il y a 4 valeurs : $- 2, 0, 2, 4$ .

Il y a une seule manière d'obtenir les valeurs $- 2$ et 4, deux manières d'obtenir 0 et d'obtenir 2.

$P (S = - 2) = P (X = - 1 et Y = - 1)$

$= P (X = - 1) \times P (Y = - 1)$ (X et Y sont indépendantes)

$= \frac{1}{2} \times \frac{16}{25} = \frac{8}{25}$ .

De même :

$\begin{array}{l} P (S = 4) = P (X = 1) \times P (Y = 3) \\ = \frac{1}{2} \times \frac{1}{25} = \frac{1}{50} . \\ P (S = 0) = P (X = - 1 et Y = 1) + P (X = 1 et Y = - 1) \\ = \frac{1}{2} \times \frac{8}{25} + \frac{1}{2} \times \frac{16}{25} = \frac{12}{25} . \\ P (S = 2) = P (X = - 1 et Y = 3) + P (X = 1 et Y = 1) \\ = \frac{1}{2} \times \frac{1}{25} + \frac{1}{2} \times \frac{8}{25} = \frac{9}{50} . \end{array}$

La loi de S peut être résumée par le tableau suivant :

Tableau de 2 lignes, 5 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : t; − 2; 0; 2; 4; Ligne 2 : P(S=t); 825; 1225; 950; 150;

b) Calculer l'espérance de la somme de deux variables aléatoires

On peut calculer l'espérance $E (S)$ de S de deux manières différentes.

Directement à partir du tableau précédent :

$E (S) = \frac{- 16 + 9 + 2}{25} = - \frac{5}{25} = - \frac{1}{5}$ .

En utilisant la linéarité de l'espérance :

$E (S) = E (X) + E (Y)$ .

Or l'espérance $E (X)$ de X est nulle, celle de Y est $E (Y) = \frac{- 16 + 8 + 3}{25} = - \frac{5}{25} = - \frac{1}{5}$ .

En additionnant, on retrouve la valeur précédente.

▶ 2. a) Comparer deux jeux

Le « gain » d'Alice peut être modélisé par la variable aléatoire X, celui de Bob par la variable aléatoire Y. En effet :

– la probabilité que Bob trouve les deux chiffres du code et donc qu'il gagne 3 € (1 € de mise, 4 € rendus par la machine) est égale à $\frac{1}{5} \times \frac{1}{5}$ , soit $\frac{1}{25}$ ;

– la probabilité qu'il trouve un seul des 2 chiffres, et donc que son « gain » soit de 1 €, est $\frac{1}{5} \times \frac{4}{5} + \frac{4}{5} \times \frac{1}{5}$ , soit $\frac{8}{25}$ ;

à noter

$\frac{1}{5} \times \frac{4}{5}$ est la probabilité que Bob trouve le premier chiffre du code et se trompe sur le deuxième.

– la probabilité qu'il se trompe sur les deux chiffres, et donc que son « gain » soit $- 1$ € (mise perdue) est $\frac{4}{5} \times \frac{4}{5}$ , c'est-à-dire $\frac{16}{25}$ .

Pour Alice, la probabilité de gagner, c'est-à-dire d'avoir un gain strictement positif est $\frac{1}{2}$ et l'espérance de gain est nulle.

Pour Bob, la probabilité d'obtenir un gain strictement positif est $P (Y = 1) + P (Y = 3)$ , soit $\frac{9}{25}$ ; son espérance de gain est $E (Y) = - \frac{1}{5}$ .

Donc Bob a moins de chances de gagner qu'Alice et, de plus, son espérance de gain est inférieure.

Mais son gain maximal possible est de 4 € alors qu'Alice peut gagner au maximum 1 € (par partie).

b) Calculer une espérance de gain

Si chacun joue 100 parties, le gain total est : $100 (X + Y)$ .

En moyenne, le gain total sera $E [100 (X + Y)]$ , soit $E (100 S) .$

$E (100 S) = 100 E (S) = 100 \times (- \frac{1}{5}) = - 20$ .

Donc s'ils jouent chacun 100 parties, ils perdront en moyenne 20 € à eux deux.