Annale corrigée Exercice

Gain à deux au casino

Sommes de variables aléatoires

Gain à deux au casino

40 min

4 points

Intérêt du sujet  Deux amis vont au casino et jouent à des jeux différents. Leur objectif est de comparer les jeux en estimant leurs espérances de gains. Après 100 parties chacun, que leur restera-t-il ? L'exercice commence par l'étude théorique de la somme de deux variables aléatoires de lois données.

 

1. On considère deux variables aléatoires indépendantes X et Y dont les lois respectives sont données par les tableaux suivants :

Tableau de 2 lignes, 8 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : j; −1; 1; ; k; −1; 1; 3; Ligne 2 : P(X=j); 12; 12; P(Y=k); 1625; 825; 125;

a) On pose S=X+Y. Déterminer la loi de la variable aléatoire S.

b) Calculer l'espérance de S.

2. Alice et Bob passent une soirée au casino. Alice joue à la roulette ; on suppose qu'il y a autant de cases rouges que de cases noires. Elle mise 1 € sur la couleur rouge. Si elle gagne, elle double sa mise ; sinon, la mise est perdue.

Bob pour sa part joue, indépendamment, à une machine à sous. Chaque partie coûte 1 € et consiste à trouver un code aléatoire composé de deux chiffres entre 1 et 5. Si Bob trouve le bon code, la machine lui rend 4 € ; s'il trouve un seul bon numéro, la machine lui rend 2 €.

a) Comparer les deux jeux.

b) Si chacun joue 100 parties, avec quel gain total les deux amis quitteront-ils le casino en moyenne ?

 

Les clés du sujet

1. a) Déterminez dans un premier temps les valeurs prises par S.

b) Il y a deux méthodes. L'une des deux utilise le résultat de la question précédente, l'autre la linéarité de l'espérance.

Utilisez les résultats de la question précédente.

2. a) Vous pouvez déterminer pour chacun des deux jeux la probabilité de gagner (c'est-à-dire d'avoir un gain strictement positif) et l'espérance de gain.

b) Utilisez la question 1.

059_matT_2000_00_53C_01

1. a) Déterminer la loi de la somme de deux variables aléatoires

On peut par exemple faire un arbre, les valeurs indiquées en rouge sont celles prises par la variable S.

Il y a 4 valeurs : 2, 0, 2, 4.

Il y a une seule manière d'obtenir les valeurs 2 et 4, deux manières d'obtenir 0 et d'obtenir 2.

P(S=2)=P(X=1 et Y=1)

=P(X=1)×P(Y=1) (X et Y sont indépendantes)

=12×1625=825.

De même :

P(S=4)=P(X=1)×P(Y=3)=12×125=150.P(S=0)=P(X=1 et Y=1)+P(X=1 et Y=1)=12×825+12×1625=1225.P(S=2)=P(X=1 et Y=3)+P(X=1 et Y=1)=12×125+12×825=950.

La loi de S peut être résumée par le tableau suivant :

Tableau de 2 lignes, 5 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : t; − 2; 0; 2; 4; Ligne 2 : P(S=t); 825; 1225; 950; 150;

b) Calculer l'espérance de la somme de deux variables aléatoires

On peut calculer l'espérance E(S) de S de deux manières différentes.

Directement à partir du tableau précédent :

E(S)=16+9+225=525=15.

En utilisant la linéarité de l'espérance :

E(S)=E(X)+E(Y).

Or l'espérance E(X) de X est nulle, celle de Y est E(Y)=16+8+325=525=15.

En additionnant, on retrouve la valeur précédente.

2. a) Comparer deux jeux

Le « gain » d'Alice peut être modélisé par la variable aléatoire X, celui de Bob par la variable aléatoire Y. En effet :

– la probabilité que Bob trouve les deux chiffres du code et donc qu'il gagne 3 € (1 € de mise, 4 € rendus par la machine) est égale à 15×15, soit 125 ;

– la probabilité qu'il trouve un seul des 2 chiffres, et donc que son « gain » soit de 1 €, est 15×45+45×15, soit 825 ;

à noter

15×45 est la probabilité que Bob trouve le premier chiffre du code et se trompe sur le deuxième.

– la probabilité qu'il se trompe sur les deux chiffres, et donc que son « gain » soit 1 € (mise perdue) est 45×45, c'est-à-dire 1625.

Pour Alice, la probabilité de gagner, c'est-à-dire d'avoir un gain strictement positif est 12 et l'espérance de gain est nulle.

Pour Bob, la probabilité d'obtenir un gain strictement positif est P(Y=1)+P(Y=3), soit 925 ; son espérance de gain est E(Y)=15.

Donc Bob a moins de chances de gagner qu'Alice et, de plus, son espérance de gain est inférieure.

Mais son gain maximal possible est de 4 € alors qu'Alice peut gagner au maximum 1 € (par partie).

b) Calculer une espérance de gain

Si chacun joue 100 parties, le gain total est : 100(X+Y).

En moyenne, le gain total sera E100(X+Y), soit E(100S).

E(100S)=100E(S)=100×15=20.

Donc s'ils jouent chacun 100 parties, ils perdront en moyenne 20 € à eux deux.

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