Gain à deux au casino

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Sommes de variables aléatoires
Type : Exercice | Année : 2020 | Académie : Inédit


Sommes de variables aléatoires

Gain à deux au casino

40 min

4 points

Intérêt du sujet  Deux amis vont au casino et jouent à des jeux différents. Leur objectif est de comparer les jeux en estimant leurs espérances de gains. Après 100 parties chacun, que leur restera-t-il ? L’exercice commence par l’étude théorique de la somme de deux variables aléatoires de lois données.

 

1. On considère deux variables aléatoires indépendantes X et Y dont les lois respectives sont données par les tableaux suivants :

Tableau de 2 lignes, 8 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : j; −1; 1; ; k; −1; 1; 3; Ligne 2 : P(X=j); 12; 12; P(Y=k); 1625; 825; 125;

a) On pose S=X+Y. Déterminer la loi de la variable aléatoire S.

b) Calculer l’espérance de S.

2. Alice et Bob passent une soirée au casino. Alice joue à la roulette ; on suppose qu’il y a autant de cases rouges que de cases noires. Elle mise 1 € sur la couleur rouge. Si elle gagne, elle double sa mise ; sinon, la mise est perdue.

Bob pour sa part joue, indépendamment, à une machine à sous. Chaque partie coûte 1 € et consiste à trouver un code aléatoire composé de deux chiffres entre 1 et 5. Si Bob trouve le bon code, la machine lui rend 4 € ; s’il trouve un seul bon numéro, la machine lui rend 2 €.

a) Comparer les deux jeux.

b) Si chacun joue 100 parties, avec quel gain total les deux amis quitteront-ils le casino en moyenne ?

 

Les clés du sujet

1. a) Déterminez dans un premier temps les valeurs prises par S.

b) Il y a deux méthodes. L’une des deux utilise le résultat de la question précédente, l’autre la linéarité de l’espérance.

Utilisez les résultats de la question précédente.

2. a) Vous pouvez déterminer pour chacun des deux jeux la probabilité de gagner (c’est-à-dire d’avoir un gain strictement positif) et l’espérance de gain.

b) Utilisez la question 1.