Géométrie dans l’espace et nombres complexes

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Géométrie dans l’espace et nombres complexes

Nombres complexes et applications

Corrigé

23

Ens. spécifique

matT_1306_07_09C

France métropolitaine • Juin 2013

Exercice 3 • 4 points

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

>1.Proposition 1 : Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points M dont l’affixe z vérifie l’égalité |z − i| = |z + 1| est une droite.

>2.Proposition 2 : Le nombre complexe est un nombre réel.


>3. Soit ABCDEFGH un cube.

Proposition 3 : Les droites (EC) et (BG) sont orthogonales.

>4. L’espace est muni d’un repère orthonormé . Soit le plan 𝒫 d’équation cartésienne x +y + 3z + 4 = 0. On note S le point de coordonnées (1 ; − 2 ; − 2).

Proposition 4 : La droite qui passe par S et qui est perpendiculaire au plan 𝒫 a pour représentation paramétrique

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace • Nombres complexes.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Module d’un nombre complexe et interprétation  E18 • E22 1.
  • Forme exponentielle d’un nombre complexe  E19 • E20 • E21 2.
  • Orthogonalité de deux droites  E26a • E32b  → 3.
  • Représentation paramétrique d’une droite  E30 4.

Nos coups de pouce

>3. Munissez l’espace d’un repère orthonormé judicieusement choisi. Précisez les coordonnées des vecteurs et dans ce repère et calculez leur produit scalaire pour conclure.

>4. Vérifiez que le point appartient à la droite dont la représentation paramétrique est donnée. Identifiez un vecteur directeur de cette droite et vérifiez que ce vecteur est un vecteur normal au plan P.

Corrigé

>1. Déterminer un lieu géométrique

  • Première méthode

Appelons A le point du plan d’affixe et B le point du plan d’affixe .

Le module est égal à la distance AM. De même, le module est égal à la distance BM. L’ensemble des points M dont l’affixe vérifie l’égalité est alors l’ensemble des points M du plan tels que AM = BM (points équidistants des points A et B). Cet ensemble est donc la médiatrice du segment [AB].

La proposition 1 est donc vraie.

  • Deuxième méthode

Soit, dans un repère orthonormé du plan, M(z) avec z=x+ iy. Alors, nous avons :

La proposition 1 est donc vraie.

>2. Déterminer le module et un argument d’un nombre complexe

  • .
  • Cherchons un argument du nombre complexe .

.

Par identification, et donc avec .

Par les deux points précédents, nous en déduisons que :

(forme exponentielle).

Ainsi, et un argument de ce nombre complexe est  ≠ 0 +kπ, .

La proposition 2 est donc fausse.

>3. Vérifier que deux droites sont orthogonales

  • Première méthode

Munissons l’espace du repère orthonormé suivant

Dans ce repère, et ont pour coordonnées respectives : , , et . Par suite,

et

La proposition 3 est donc vraie.

  • Deuxième méthode

.

  • (EF) est orthogonale à (FG) dans le plan (EFG), EFGH étant un carré, et à (FB) dans le plan (EFB), EFBA étant un carré. La droite (EF) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (BFG), elle est donc orthogonale au plan (BFG) et donc à toute droite incluse dans ce plan. (EF) est donc orthogonale à (BG) et .
  • Dans un carré les diagonales sont perpendiculaires donc (BG) et (FC) sont perpendiculaires. Ainsi .

Finalement : .

La proposition 3 est donc vraie.

>4. Justifier une représentation paramétrique d’une droite

Considérons la droite qui a pour représentation paramétrique :

  • Pour , nous avons :

Le point S appartient donc à cette droite.

  • Comme nous avons :

le vecteur de coordonnées (1 ; 1 ; 3) est un vecteur directeur de cette droite. Comme le plan 𝒫 a pour équation cartésienne , ce vecteur est également un vecteur normal au plan 𝒫.

La proposition 4 est donc vraie.