Géométrie dans l’espace : vrai ou faux ?

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Géométrie dans l’espace : vrai ou faux ?

Géométrie dans l’espace

matT_1309_04_02C

ENS. SPÉCIFIQUE

28

CORRIGE

Antilles, Guyane • Septembre 2013

Exercice 1 • 5 points

Partie A

Restitution organisée de connaissances

Soit une droite de vecteur directeur et soit 𝒫 un plan.

On considère deux droites sécantes et contenues dans 𝒫 : la droite 𝒟1 de vecteur directeur et la droite 𝒟2 de vecteur directeur .

Montrer que est orthogonale à toute droite de 𝒫 si et seulement si est orthogonale à 𝒟1 et à 𝒟2.

Partie B

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les trois points A(0 ; −1 ; 1), B(4 ; −3 ; 0) et C(−1 ; −2 ; −1).

On appelle 𝒫 le plan passant par A, B et C.

On appelle la droite ayant pour représentation paramétrique avec t appartenant à .

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

>1.Affirmation 1 : est orthogonale à toute droite du plan 𝒫.

>2.Affirmation 2 : les droites et (AB) sont coplanaires.

>3.Affirmation 3 : le plan 𝒫 a pour équation cartésienne .

>4. On appelle 𝒟 la droite passant par l’origine et de vecteur directeur .

Affirmation 4 : la droite 𝒟 est strictement parallèle au plan d’équation .

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes clés

Position relative d’une droite et d’un plan • Position relative de deux droites • Équation cartésienne d’un plan.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Produit scalaire pour tester une orthogonalité entre deux vecteurs de l’espace  E32a • E32c  → Partie A ; partie B, 1. et 4.
  • Produit scalaire dans un repère de l’espace  E31c  → Partie B, 1. et 4.
  • Représentation paramétrique d’une droite de l’espace  E30 Partie B, 2. et 3.

Nos coups de pouce

Partie A

> Pour démontrer une équivalence , on démontre les deux implications et .

Corrigé

Partie A

Droite orthogonale à un plan

  • Si est orthogonale à toute droite de , alors elle est orthogonale aux droites et qui sont incluses dans .
  • Si est orthogonale à et , on considère un vecteur directeur de , un vecteur directeur de et un vecteur directeur de . On a alors : et .

Soit une droite incluse dans et un vecteur directeur de .

Comme les droites et sont sécantes, les vecteurs et ne sont pas colinéaires et le vecteur se décompose de manière unique sous la forme a et b sont des nombres réels.

On a alors :

Les vecteurs et sont donc orthogonaux.

La droite est donc orthogonale à toute droite de .

Partie B

>1. Affirmation 1 : une droite et un plan donnés sont-ils orthogonaux ?

On utilise la partie A pour étudier cette affirmation. On étudie pour cela la position de la droite par rapport aux droites (AB) et (AC) du plan .

Un vecteur directeur de est .

Les vecteurs et qui sont des vecteurs directeurs des droites (AB) et (AC) respectivement ont pour coordonnées :

 et 

On a alors :

donc et sont orthogonaux ;

donc et sont orthogonaux.

La droite est donc orthogonale aux deux droites sécantes du plan que sont (AB) et (AC).

La droite est donc orthogonale au plan .

L’affirmation1est donc vraie.

>2. Affirmation 2 : étudier la position relative de deux droites

La droite est orthogonale au plan . La droite (AB) est incluse dans le plan . Donc et (AB) ne peuvent être parallèles.

Sont-elles sécantes ?

Première méthode : on résout un système avec les représentations paramétriques de et (AB) pour identifier leur éventuel point d’intersection.

Une représentation paramétrique de (AB) est .

On résout alors le système .

Il est équivalent à

soit .

Cela équivaut finalement à .

Les deuxième et troisième équations sont incompatibles. Les droites et (AB) ne sont donc pas sécantes.

Finalement les droites et (AB) ne sont pas coplanaires.

L’affirmation2est donc fausse.

Deuxième méthode : on cherche le point d’intersection de la droite avec le plan et on examine ensuite si ce point est sur la droite (AB).

Le plan admet pour vecteur normal un vecteur directeur de qui est .

Une équation cartésienne de est donc d est un nombre réel à déterminer.

Or le point A appartient à donc ses coordonnées vérifient l’équation précédente : soit .

Finalement .

Une équation cartésienne de est donc .

Déterminons maintenant le point d’intersection I de et .

On résout pour cela le système ,

équivalent à .

Finalement, cela équivaut à .

Le point I a donc pour coordonnées (1 ; 2 ; 6).

On constate alors que les vecteurs et ne sont pas colinéaires. Les points A, I et B ne sont donc pas alignés et I n’appartient pas à la droite (AB).

Finalement les droites et (AB) ne sont pas coplanaires.

L’affirmation2est donc fausse.

>3. Affirmation 3 : équation cartésienne d’un plan

Le plan admet pour vecteur normal un vecteur directeur de qui est . Une équation cartésienne de est donc d est un nombre réel à déterminer.

Or le point A appartient à donc ses coordonnées vérifient l’équation précédente : soit .

Finalement .

Une équation cartésienne de est donc .

L’affirmation3est donc vraie.

>4. Affirmation 4 : position relative d’une droite et d’un plan

Un vecteur directeur de D est . Un vecteur normal au plan est .

.

Les vecteurs et sont donc orthogonaux. La droite D est donc parallèle au plan .

Or l’origine du repère appartient à la droite 𝒟 et n’appartient pas au plan , en effet : .

La droite D est donc strictement parallèle au plan d’équation.

L’affirmation4est donc vraie.