▶ Affirmation 1. Étudier la position relative de deux droites de l’espace

L’affirmation 1 est vraie.

D’après la représentation paramétrique donnée, la droite (d) a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ ; l’axe des ordonnées a pour vecteur directeur $\overrightarrow{j}\left(\begin{array}{l}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$.

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{j}$ ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles), donc (d) et l’axe des ordonnées ne sont pas parallèles.

On cherche un éventuel point commun à ces deux droites.

L’axe des ordonnées est l’ensemble des points M(0 ; y ; 0) avec y réel.

M ∈(d) si, et seulement si, il existe un réel t tel que $\left\{\begin{array}{l}3-2t=0\\ -1=y\\ 2-6t=0\end{array}\right.$.

Il n’y a aucune solution car la première équation a pour solution $t=\frac{3}{2}$ et la dernière a pour solution $t=\frac{1}{3}$ (ces équations sont incompatibles). Donc (d) et l’axe des ordonnées n’ont pas de point commun, elles ne sont pas sécantes.

Ces deux droites n’étant ni parallèles ni sécantes, elles sont non coplanaires.

▶ Affirmation 2. Déterminer une équation cartésienne de plan

L’affirmation 2 est vraie.

Soit Π le plan passant par A et orthogonal à la droite (d).

(d) a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ -6\end{array}\right)$ ; ce vecteur est un vecteur normal à Π.

Π a donc une équation cartésienne de la forme - 2x - 6z + d = 0.

On cherche le réel d tel que les coordonnées de A vérifient cette équation :

$-2\times 3-6\times (-2)+d=0$, donc d = - 6.

Π a donc pour équation cartésienne -2x - 6z - 6 = 0, qui équivaut, en simplifiant par -2, à x + 3z + 3 = 0.

▶ Affirmation 3. Déterminer une mesure d’un angle géométrique

L’affirmation 3 est fausse.

C est le point de (d) d’abscisse 2, donc les coordonnées (x ; y ; z) de C sont de la forme $\left\{\begin{array}{l}x=3-2t\\ y=-1\\ z=2-6t\end{array}\right.$ avec t ∈ ℝ et x = 2.

On a 3 - 2t = 2, donc $t=\frac{1}{2}$ et C a pour coordonnées (2 ; - 1 ; - 1).

D’où les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\text{AC}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$.

On calcule leur produit scalaire : $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}=-2-2+1=-3$.

Or $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}=\text{AB}\times \text{AC}\times \text{cos}\text{(}\widehat{\text{BAC}})$ et $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}<0$, donc $\cos (\widehat{\text{BAC}})<0$, donc $\widehat{\text{BAC}}\ne \frac{\text{π}}{6}$ car $\cos \left(\frac{\text{π}}{6}\right)=\frac{\sqrt[]{3}}{2}>0$.

▶ Affirmation 4. Calculer la distance de deux points

L’affirmation 4 est vraie.

Le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.

On montre un résultat préliminaire :

Si M est un point quelconque du plan $\mathcal{P}$, alors $\overrightarrow{\text{BH}}\cdot \overrightarrow{n}=\overrightarrow{\text{BM}}\cdot \overrightarrow{n}$.

En effet, $\overrightarrow{\text{BM}}\cdot \overrightarrow{n}=(\overrightarrow{\text{BH}}+\overrightarrow{\text{HM)}}\cdot \overrightarrow{n}=\overrightarrow{\text{BH}}\cdot \overrightarrow{n}+\overrightarrow{\text{HM}}\cdot \overrightarrow{n}$.

Or $\overrightarrow{\text{HM}}\cdot \overrightarrow{n}=0$ car les vecteurs $\overrightarrow{\text{HM}} \text{et} \overrightarrow{n}$ sont orthogonaux.

D’où $\overrightarrow{\text{BH}}\cdot \overrightarrow{n}=\overrightarrow{\text{BM}}\cdot \overrightarrow{n}$.

Les vecteurs $\overrightarrow{\text{BH}}$ et $\overrightarrow{n}$ sont colinéaires, donc $\left|\overrightarrow{\text{BH}}\cdot \overrightarrow{n}\right|=\text{BH}\times ‖\overrightarrow{n}‖$

On en déduit $\text{BH}=\frac{\left|\overrightarrow{\text{BH}}\cdot \overrightarrow{n}\right|}{‖\overrightarrow{n}‖}$, soit $\text{BH}=\frac{\left|\overrightarrow{\text{BM}}\cdot \overrightarrow{n}\right|}{‖\overrightarrow{n}‖}$.

On peut prendre M(7 ; 0 ; 0).

Alors $\overrightarrow{\text{BM}}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{l}2\\ 4\\ 1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\text{BM}}\cdot \overrightarrow{n}=2+3=5$.

D’autre part, $‖\overrightarrow{n}‖=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$.

On en déduit $\text{BH}=\frac{5}{\sqrt[]{10}}$, soit $\text{BH}=\frac{5\sqrt[]{10}}{10}$, c’est-à-dire $\text{BH}=\frac{\sqrt[]{10}}{2}$.