France métropolitaine, juin 2024 • Jour 2
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France métropolitaine, juin 2024 • Jour 2 Exercice 4
Géométrie dans l’espace : vrai ou faux, 4 questions
Intérêt du sujet • Dans cet exercice, on étudie les positions relatives de points, droites et plans de l’espace, ainsi que d’éventuelles relations d’orthogonalité. On utilise des représentations paramétriques de droites et des équations cartésiennes de plans.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points suivants :
A(2 ; 0 ; 0), B(0 ; 4 ; 3), C(4 ; 4 ; 1), D(0 ; 0 ; 4) et H(−1 ; 1 ; 2).
Affirmation 1 : les points A, C et D définissent un plan d’équation 8x - 5y + 4z – 16 = 0.
Affirmation 2 : les points A, B, C et D sont coplanaires.
Affirmation 3 : les droites (AC) et (BH) sont sécantes.
On admet que le plan (ABC) a pour équation cartésienne x - y + 2z - 2 = 0.
Affirmation 4 : le point H est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).
Les clés du sujet
Affirmation 1. Dans un premier temps, examinez si les points A, C et D sont ou ne sont pas alignés.
Affirmation 2. Utilisez la question précédente.
Affirmation 3. Comparez les directions des deux droites, puis cherchez un éventuel point commun.
Affirmation 4. Utilisez un vecteur normal au plan (ABC).
▶ Affirmation 1.
Déterminer si trois points donnés définissent un plan
L’affirmation est vraie.
On montre tout d’abord que les points A, C et D définissent un plan, c’est-à-dire qu’ils ne sont pas alignés. On calcule les coordonnées des vecteurs et : ; . Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles ; en effet, par exemple, mais .
à noter
Il existe un unique plan contenant les points A, C et D. est le plan (ACD).
Les vecteurs et ne sont pas colinéaires, les points A, C et D ne sont pas alignés, donc ils définissent un plan .
L’équation cartésienne 8x - 5y + 4z - 16 = 0 est vérifiée à la fois par les coordonnées de A, celles de C et celles de D, c’est donc une équation cartésienne du plan (ACD).
▶ Affirmation 2.
Étudier si quatre points donnés sont ou ne sont pas coplanaires
L’affirmation est fausse.
à noter
Quatre points sont coplanaires si, et seulement si, il existe un plan les contenant tous les quatre. Si ces points sont trois à trois non alignés, cela équivaut à dire que l’un de ces points appartient au plan défini par les trois autres.
D’après la question précédente, les points A, C et D définissent le plan (ACD) d’équation cartésienne 8x - 5y + 4z - 16 = 0.
A, B, C et D sont coplanaires si, et seulement si, B appartient à ce plan.
On remplace x, y et z par les coordonnées de B :
- 5 × 4 + 4 × 3 - 16 = - 24 ≠ 0. Les coordonnées de B ne vérifient pas l’équation cartésienne du plan (ACD) justifiée à la question précédente, donc B ∉(ACD) et A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
▶ Affirmation 3.
Étudier la position relative de deux droites de l’espace
L’affirmation est vraie.
La droite (AC) a pour vecteur directeur ; la droite (BH) a pour vecteur directeur . Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles, par exemple . Donc ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, et les droites (AC) et (BH) ne sont pas parallèles, elles sont sécantes ou non coplanaires.
On cherche un éventuel point commun à ces deux droites en utilisant des représentations paramétriques.
La droite (AC) passe par le point A(2 ; 0 ; 0) et a pour vecteur directeur , elle a donc pour représentation paramétrique
La droite (BH) passe par B(0 ; 4 ; 3) et a pour vecteur directeur , elle a donc pour représentation paramétrique
Pour trouver un éventuel point commun à ces deux droites, on résout le système . Ce système équivaut à .
Il a pour unique solution .
à noter
Pour déterminer les coordonnées de I, on peut soit remplacer t par - 5 dans la représentation paramétrique de (AC), soit remplacer u par 8 dans la représentation paramétrique de (BH). On obtient I(- 8 ; - 20 ; - 5).
Cela signifie que les droites (AC) et (BH) ont un unique point commun I, donc elles sont sécantes.
▶ Affirmation 4.
Montrer qu’un point est le projeté orthogonal d’un point donné sur un plan donné
L’affirmation est vraie.
Pour justifier que H est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC), deux points doivent être vérifiés :
H ∈(ABC) ;
(DH) orthogonale au plan (ABC).
à noter
On peut aussi s’assurer que les coordonnées de H vérifient l’équation cartésienne donnée du plan (ABC).
On a vu précédemment que les droites (AC) et (BH) sont sécantes, cela entraîne qu’elles sont coplanaires, donc que les quatre points A, B, C et H sont coplanaires, c’est-à-dire que H ∈(ABC).
Puisque (ABC) a pour équation cartésienne x - y + 2z - 2 = 0, ce plan a pour vecteur normal . Par ailleurs, on a .
, donc est un vecteur normal au plan (ABC), donc la droite (DH) est orthogonale à (ABC).
On en déduit donc que H est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).