Géométrie et Nombres complexes

Exercice de type Bac – Un QCM

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$ .

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument $\frac{π}{2}$ .

1. La forme algébrique du nombre complexe $z = \frac{1}{2 + i}$ est :

a. $\frac{2}{3} - \frac{1}{3} i$ ; b. $\frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$ ; c. $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} i$ ; d. $\frac{2}{3} + \frac{1}{3} i$ .

2. La forme algébrique du nombre complexe $z = 3 e^{- i \frac{π}{6}}$ est :

a. $- \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i$ b. $\frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} i$ c. $\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i$ d. $- \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} i$

3. Le nombre complexe z = – 2 + 2i peut se mettre sous la forme :

a. $2 \sqrt{2} e^{- i \frac{π}{4}}$ ; b. $2 \sqrt{2} e^{i \frac{3 π}{4}}$ ; c. $2 \sqrt{2} e^{i \frac{5 π}{4}}$ ; d. $4 e^{i \frac{3 π}{4}}$ .

4. Le nombre complexe conjugué de $z = 4 e^{i \frac{π}{6}}$ est :

a. $- 4 e^{i \frac{π}{6}}$ ; b. $4 e^{i \frac{7 π}{6}}$ ; c. $4 e^{- i \frac{π}{6}}$ ; d. $\frac{1}{4} e^{- i \frac{π}{6}}$ .

5. Soit A et B deux points d’affixes respectives zA et zB. On sait que $|z_{A}| = \sqrt{3}$ et $|z_{B}| = 3$ . On sait aussi qu’un argument de zA est égal à $\frac{π}{3}$ et qu’un argument de zB est égal à $\frac{π}{4}$ .

L’écriture exponentielle du produit zA × zB est :

a. $3 e^{i \frac{7 π}{12}}$ ; b. $3 \sqrt{3} e^{i \frac{7 π}{12}}$ ; c. $3 \sqrt{3} e^{i \frac{2 π}{7}}$ ; d. $\frac{\sqrt{3}}{3} e^{i \frac{π}{12}}$ .

6. Si $z_{1} = 2 e^{i \frac{2 π}{3}}$ et $z_{2} = \sqrt{2} e^{- i \frac{π}{4}}$ , alors l’écriture exponentielle de $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ est :

a. $\sqrt{2} e^{i \frac{5 π}{12}}$ ; b. $\sqrt{2} e^{i \frac{11 π}{12}}$ ; c. $\frac{\sqrt{2}}{2} e^{- i \frac{11 π}{12}}$ ; d. $\sqrt{2} e^{i \frac{π}{12}}$ .

Corrigé

Les justifications éventuelles données ici n’ont pas à figurer sur la copie puisque pour un QCM, au baccalauréat, on demande uniquement la réponse.

1. $\frac{1}{2 + i} = \frac{(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{2 - i}{5} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$ .

2. $z = 3 [\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6})] = 3 [\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i]$ ;

$z = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} i .$

3. $|z| = 2 \sqrt{2}$ ; si arg z = θ, $\cos θ = - \frac{1}{\sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin θ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ; donc $θ = π - \frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$ , d’où : $z = 2 \sqrt{2} e^{i \frac{3 π}{4}}$

4. $\bar{z} = 4 e^{- i \frac{π}{6}}$ .

5. $z_{A} \times z_{B} = \sqrt{3} e^{i \frac{π}{3}} \times 3 e^{i \frac{π}{4}} = (\sqrt{3} \times 3) \times e^{i \frac{π}{3} + i \frac{π}{4}} = 3 \sqrt{3} e^{\frac{7 i π}{12}}$ .

6. $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{2 e^{i \frac{2 π}{3}}}{\sqrt{2} e^{- i \frac{π}{4}}} = \frac{2}{\sqrt{2}} \times (e^{i \frac{2 π}{3} + i \frac{π}{4}}) = \sqrt{2} e^{\frac{11 i π}{12}}$ .

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Géométrie et Nombres complexes

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