▶ 1. Le triangle HSM est rectangle en H donc, d’après le théorème de Pythagore :

HS² + HM² = MS²

HS² + 5² = 13²

HS² + 25 = 169

HS² = 169 – 25 = 144

HS = $\sqrt[]{144}=12$ cm.

▶ 2. Les droites (HT) et (AS) sont sécantes en M. De plus, les droites (HS) et (AT) sont parallèles car deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.

Donc, d’après le théorème de Thalès :

$\frac{\text{MH}}{\text{MT}}=\frac{\text{MS}}{\text{MA}}=\frac{\text{HS}}{\text{TA}}$, soit $\frac{5}{7}=\frac{13}{\text{MA}}=\frac{12}{\text{AT}}$.

Par le produit en croix, on obtient :

AT = $\frac{7\times 12}{5}=\mathrm{16,8}$ cm.

▶ 3. Le triangle HMS est rectangle en H donc :

$\cos \left(\widehat{\text{HMS}}\right)= \frac{\text{côté adjacent à }\widehat{\text{HMS}}}{\text{hypoténuse}}=\frac{\text{HM}}{\text{MS}}=\frac{5}{13}$.

Alors, au degré près, $\widehat{\text{HMS}}=\arccos \left(\frac{5}{13}\right)\approx 67°$.

▶ 4. C’est une homothétie qui permet d’obtenir le triangle MAT à partir du triangle MHS.

▶ 5. C’est faux. En effet, dans un agrandissement/réduction de rapport k, les aires sont multipliées par k². Donc, dans ce cas, l’aire est multipliée par 1,4² = 1,96.