Troisième Mathématiques Interpréter, représenter et traiter des données

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Interpréter, représenter et traiter des données

mat3_1907_07_02C

France métropolitaine • Juillet 2019

Gestion de données

Exercice 3

15 min

17 points

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

Un sablier est composé de :

deux cylindres C₁ et C₂ de hauteur 4,2 cm et de diamètre 1,5 cm ;

un cylindre C₃ ;

deux demi-sphères S₁ et S₂ de diamètre 1,5 cm.

On rappelle le volume 𝒱 d'un cylindre d'aire de base B et de hauteur ℎ :

𝒱 = B × ℎ.

mat3_1906_07_00C_02

▶ 1. a) Au départ, le sable remplit le cylindre C₂ aux deux tiers. Montrer que le volume du sable est environ 4,95 cm³.

b) On retourne le sablier. En supposant que le débit d'écoulement du sable est constant et égal à 1,98 cm³/min, calculer le temps en minutes et secondes que va mettre le sable à s'écouler dans le cylindre inférieur.

▶ 2. En réalité, le débit d'écoulement d'un même sablier n'est pas constant.

Dans une usine où on fabrique des sabliers comme celui-ci, on prend un sablier au hasard et on teste plusieurs fois le temps d'écoulement dans ce sablier.

Voici les différents temps récapitulés dans le tableau suivant :

Tableau de 5 lignes, 8 colonnes ;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : Temps mesuré; 2 min 22 s; 2 min 24 s; 2 min 26 s; 2 min 27 s; 2 min 28 s; 2 min 29 s; 2 min 30 s; Ligne 2 : Nombre de tests; 1; 1; 2; 6; 3; 7; 6; Ligne 3 : ; Ligne 4 : Temps mesuré; 2 min 31 s; 2 min 32 s; 2 min 33 s; 2 min 34 s; 2 min 35 s; 2 min 38 s; ; Ligne 5 : Nombre de tests; 3; 1; 2; 3; 2; 3;

a) Combien de tests ont été réalisés au total ?

b) Un sablier est mis en vente s'il vérifie les trois conditions ci-dessous, sinon il est éliminé.

L'étendue des temps est inférieure à 20 s.

La médiane des temps est comprise entre 2 min 29 s et 2 min 31 s.

La moyenne des temps est comprise entre 2 min 28 s et 2 min 32 s.

Le sablier testé sera-t-il éliminé ?

Les clés du sujet

L'intérêt du sujet

À travers l'étude de l'écoulement du sable dans un sablier, tu vas revoir les principaux indicateurs statistiques.

Nos coups de pouce, question par question

$Tableau de 3 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. a) Calculer le volume d'un cylindre; Pour prendre une fraction d'une quantité, multiplie la fraction par la quantité.; Ligne 2 : b) Calculer avec des grandeurs proportionnelles; Dresse un tableau de proportionnalité entre le volume de sable écoulé et le temps.; Ligne 3 : ▶ 2. a) Calculer un effectif total; Additionne les nombres de tests correspondant aux durées.;$

Les étapes de résolution pour la question 2. b)

mat3_1907_07_02C_02

▶ 1. a) $\begin{matrix} V_{sable} = \frac{2}{3} \times V_{C_{2}} = \frac{2}{3} \times aire(base) \times hauteur \\ = \frac{2}{3} \times π \times {(\frac{1,5}{2})}^{2} \times 4,2 \approx 4,95 {cm}^{3} \end{matrix}$

attention !

rayon = $\frac{diamètre}{2}$ .

b) Il y a proportionnalité entre le volume de sable écoulé et le temps :

Tableau de 3 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Volume (cm3); Temps (s); Ligne 2 : 1,98; 60; Ligne 3 : 4,95; x;

Par le produit en croix, on a :

x = $\frac{4,95 \times 60}{1,98} = 150 s = 2 min 30 s$

▶ 2. a) Le nombre total de tests faits est :

1 + 1 + 2 + 6 + 3 + 7 + 6 + 3 + 1 + 2 + 3 + 2 + 3 = $40$ .

b) Calcul de l'étendue : 2 min 38 s – 2 min 22 s = 16 s.

16 s 20 s donc le premier critère est vérifié.

rappel

La médiane d'une série statistique est la valeur qui partage l'effectif en deux sous-effectifs égaux.

Détermination de la médiane : on cherche la moyenne entre la 20^e et la 21^e valeur.

1^re méthode : on liste, dans l'ordre croissant, les 40 valeurs.

2^eméthode : on fait un calcul d'effectifs cumulés croissants :

Donc la médiane est entre 2 min 29 s et 2 min 30 s et le second critère est vérifié.

Calcul de la moyenne (le calcul est plus simple si toutes les unités de temps sont en secondes) :

$\begin{matrix} Moyenne = \frac{\begin{matrix} 142 \times 1 + 144 \times 1 + 146 \times 2 + 147 \times 6 + 148 \times 3 \\ + 149 \times 7 + 150 \times 6 + 151 \times 3 + 152 \times 1 \\ + 153 \times 2 + 154 \times 3 + 155 \times 2 + 158 \times 3 \end{matrix}}{40} \\ \approx 150 s soit 2 min 30 s. \end{matrix}$

Donc ce dernier critère est vérifié.

Conclusion : ce sablier ne sera pas éliminé.