Terminale générale Mathématiques Sommes de variables aléatoires

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France métropolitaine, juin 2025 • Jour 1

Sprint final

France métropolitaine, juin 2025 • Jour 1

Exercice 1

Groupes sanguins, facteur rhésus et donneurs universels

55 min

5 points

Intérêt du sujet • Les quatre premières questions portent sur les probabilités conditionnelles. La cinquième concerne une variable aléatoire suivant une loi binomiale ; la dernière question fait appel à l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

On compte quatre groupes sanguins dans l’espèce humaine : A, B, AB et O.

Chaque groupe sanguin peut présenter un facteur rhésus. Lorsqu’il est présent, on dit que le rhésus est positif, sinon on dit qu’il est négatif.

Au sein de la population française, on sait que :

45 % des individus appartiennent au groupe A, et parmi eux 85 % sont de rhésus positif ;

10 % des individus appartiennent au groupe B, et parmi eux 84 % sont de rhésus positif ;

3 % des individus appartiennent au groupe AB, et parmi eux 82 % sont de rhésus positif.

On choisit au hasard une personne dans la population française.

On désigne par :

A l’événement « La personne choisie est de groupe sanguin A » ;

B l’événement « La personne choisie est de groupe sanguin B » ;

AB l’événement « La personne choisie est de groupe sanguin AB » ;

O l’événement « La personne choisie est de groupe sanguin O » ;

R l’événement « La personne choisie a un facteur rhésus positif ».

Pour un événement quelconque E, on note $\bar{E}$ l’événement contraire de E et P(E) la probabilité de E.

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▶ 1. Recopier l’arbre ci-dessus en complétant les dix pointillés.

▶ 2. Montrer que P(B ∩ R) = 0,084. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

▶ 3. On précise que P(R) = 0,8397. Montrer que P_O(R) = 0,83.

▶ 4. On dit qu’un individu est « donneur universel » lorsque son sang peut être transfusé à toute personne sans risque d’incompatibilité. Le groupe O de rhésus négatif est le seul vérifiant cette caractéristique. Montrer que la probabilité qu’un individu choisi au hasard dans la population française soit donneur universel est de 0,0714.

▶ 5. Lors d’une collecte de sang, on choisit un échantillon de 100 personnes dans la population d’une ville française. Cette population est suffisamment grande pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 100 personnes associe le nombre de donneurs universels dans cet échantillon.

a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b) Déterminer à 10⁻³ près la probabilité qu’il y ait au plus 7 donneurs universels dans cet échantillon.

c) Montrer que l’espérance E(X) de la variable aléatoire X est égale à 7,14 et que sa variance V(X) est égale à 6,63 à 10⁻² près.

▶ 6. Lors de la semaine nationale du don du sang, une collecte de sang est organisée dans N villes françaises choisies au hasard numérotées 1, 2, 3, …, N où N est un entier naturel non nul.

On considère la variable aléatoire X₁ qui à chaque échantillon de 100 personnes de la ville 1 associe le nombre de donneurs universels dans cet échantillon. On définit de la même manière les variables aléatoires X₂ pour la ville 2, …, X_N pour la ville N.

On suppose que ces variables aléatoires sont indépendantes et qu’elles admettent la même espérance égale à 7,14 et la même variance égale à 6,63. On considère la variable aléatoire $M_{N} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{N}}{N}$ .

a) Que représente la variable aléatoire M_N dans le contexte de l’exercice ?

b) Calculer l’espérance E(M_N).

c) On désigne par V(M_N) la variance de la variable aléatoire M_N.

Montrer que $V (M_{N}) = \frac{6,63}{N}$ .

d) Déterminer la plus petite valeur de N pour laquelle l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d’affirmer que : P(7 < M_N < 7,28)≥ 0,95.

Les clés du sujet

▶ 2. Utilisez l’arbre complété à la question précédente.

▶ 3. Écrivez à l’aide de la formule des probabilités totales une équation d’inconnue P_O(R) et résolvez cette équation.

▶ 5. b) Utilisez la calculatrice.

▶ 6. d) Écrivez l’inégalité 7 < M_N < 7,28 sous la forme $|M_{N} - E (M_{N})| < δ$ , avec δ > 0.

> 1. Compléter un arbre pondéré

à noter

Pour l’instant on ne peut pas indiquer de probabilité sur les deux dernières branches. L’arbre pourra être complété à la question 3.

D’après l’énoncé et en complétant par soustraction, on peut construire l’arbre suivant :

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▶ 2. Calculer et interpréter la probabilité de l’intersection de deux événements

D’après l’arbre :

$P (B \cap R) = 0,1 \times 0,84$

$P (B \cap R) = 0,084$ .

Cela signifie que 8,4 % de la population est du groupe B rhésus positif.

▶ 3. Calculer une probabilité conditionnelle

A, B, AB et O forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales :

$P (R) = P (A \cap R) + P (B \cap R) + P (AB \cap R) + P (O \cap R)$

soit, en posant x = P_O(R) :

$P (R) = 0,45 \times 0,85 + 0,084 + 0,03 \times 0,82 + 0,42 x$

$P (R) = 0,4911 + 0,42 x$ .

On a donc l’équation 0,4911 + 0,42x = 0,8397.

à noter

Ce résultat signifie que 83 % des personnes du groupe O sont de rhésus positif.

Sur les deux dernières branches de l’arbre, on peut indiquer les probabilités 0,83 et 0,17.

D’où :

$x = \frac{0,8397 - 0,4911}{0,42}$

$P_{O} (R) = 0,83$ .

▶ 4. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

La probabilité qu’un individu choisi au hasard soit donneur universel est $P (O \cap \bar{R})$ .

$P (O \cap \bar{R}) = P (O) \times P_{O} (\bar{R})$

$P (O \cap \bar{R}) = 0,42 \times 0,17$

$P (O \cap \bar{R}) = 0,0714$ .

La probabilité qu’un individu choisi au hasard soit donneur universel est 0,0714.

▶ 5. a) Déterminer la loi d’une variable aléatoire

L’expérience est un schéma de Bernoulli formé de la répétition de 100 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Le succès est l’événement $O \cap \bar{R}$ : « la personne choisie est donneur universel », la probabilité de succès est 0,0714.

La variable aléatoire X compte le nombre de succès lors de cette répétition de 100 épreuves, donc elle suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,0714$ , notée B(100 ; 0,0714).

b) Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi binomiale

La probabilité que dans l’échantillon il y ait au plus 7 donneurs universels est P(X ≤ 7). D’après la calculatrice :

$P (X \leq 7) \approx 0,577$ à $10^{- 3}$ près.

c) Calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire

À noter

Sur un grand nombre d’échantillons de 100 personnes, il y a en moyenne 7,14 donneurs universels par échantillon.

L’espérance de X est : $E (X) = 100 \times 0,0714$

$E (X) = 7,14$ .

La variance de X est : $V (X) = 100 \times 0,0714 (1 - 0,0714)$ .

À $10^{- 2}$ près $V (X) \approx 6,63$ .

▶ 6. a) Interpréter la définition d’une variable aléatoire

Dans le contexte de l’exercice, la variable aléatoire M_N représente le nombre moyen de donneurs universels par échantillon de 100 personnes sur les N villes considérées.

b) Calculer l’espérance d’une variable aléatoire

à noter

On peut dire que X₁, X₂, …, X_N est un échantillon de taille N de la loi B(100 ; 0,0714).

D’après le cours, $E (M_{N}) = E (X_{i})$ où i est un entier quelconque entre 1 et N, soit :

$E (M_{N}) = 7,14$ .

c) Calculer la variance d’une variable aléatoire

Toujours d’après le cours, $V (M_{N}) = \frac{1}{N} V (X_{i})$ où i est un entier quelconque entre 1 et N, soit :

$V (M_{N}) = \frac{6,63}{N}$ .

d) Exploiter l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

► Le conseil de méthode

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de majorer la probabilité que l’écart entre une variable aléatoire et son espérance soit supérieur ou égal à une valeur donnée.

D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout réel δ > 0 :

$P (|M_{N} - E (M_{N})| \geq δ) \leq \frac{6,63}{N δ^{2}}$ .

Les événements $\{|M_{N} - E (M_{N})| \geq δ\}$ et $\{|M_{N} - E (M_{N})| < δ\}$ sont complémentaires, donc

$P (|M_{N} - E (M_{N})| < δ) = 1 - P (|M_{N} - E (M_{N})| \geq δ) .$

Donc $P (|M_{N} - E (M_{N})| < δ) \geq 1 - \frac{6,63}{N δ^{2}}$ .

On sait que $E (M_{N}) = 7,14$ .

7 < M_N < 7,28 ⇔ - 0,14 < M_N - 7,14 < 0,14

$7 < M_{N} < 7,28 \Leftrightarrow |M_{N} - 7,14| < 0,14$

$7 < M_{N} < 7,28 \Leftrightarrow |M_{N} - E (M_{N})| < 0,14$ .

D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev on a donc :

$P (7 < M_{N} < 7,28) \geq 1 - \frac{6,63}{N \times {0,14}^{2}}$

soit :

$P (7 < M_{N} < 7,28) \geq 1 - \frac{6,63}{0,0196 N}$ .

On cherche la plus petite valeur de N telle que $1 - \frac{6,63}{0,0196 N} \geq 0,95$ .

$1 - \frac{6,63}{0,0196 N} \geq 0,95 \Leftrightarrow \frac{6,63}{0,0196 N} \leq 0,05$

$1 - \frac{6,63}{0,0196 N} \geq 0,95 \Leftrightarrow N \geq \frac{6,63}{0,0196 \times 0,05}$ .

Or $\frac{6,63}{0,0196 \times 0,05} \approx 6 765,3$ et N est entier, donc la plus petite valeur de $N$ pour laquelle l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d’affirmer que $P (7 < M_{N} < 7,28) \geq 0,95$ est 6 766.

Groupes sanguins, facteur rhésus et donneurs universels

Les clés du sujet

> 1. Compléter un arbre pondéré

à noter

▶ 2. Calculer et interpréter la probabilité de l’intersection de deux événements

▶ 3. Calculer une probabilité conditionnelle

à noter

▶ 4. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

▶ 5. a) Déterminer la loi d’une variable aléatoire

b) Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi binomiale

c) Calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire

À noter

▶ 6. a) Interpréter la définition d’une variable aléatoire

b) Calculer l’espérance d’une variable aléatoire

à noter

c) Calculer la variance d’une variable aléatoire

d) Exploiter l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

► Le conseil de méthode

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