Probabilités et statistiques • Conditionnement
Corrigé
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Ens. spécifique
matT_1200_00_09C
Sujet inédit
Exercice • 5 points
Dans une ville, une enquête portant sur les habitudes des ménages en matière d’écologie a donné les résultats suivants :
- 70 % des ménages pratiquent le tri sélectif ;
- parmi ces ménages, 40 % consomment des produits bio ;
- parmi les ménages ne pratiquant pas le tri sélectif, 10 % consomment des produits bio.
On choisit un ménage au hasard et on note :
l’événement « le ménage pratique le tri sélectif » et 
son événement contraire ;
l’événement « le ménage consomme des produits bio » et 
son événement contraire.
de l’événement 
. (0,25 point)
et 
. (0,5 point)
, puis interpréter ce résultat. (0,75 point)
Soit 
la somme d’argent reçue par un ménage.
? (On n’attend pas de justification.) (0,5 point)
. (0,5 point)
Durée conseillée : 45 min.
Les thèmes en jeu
Arbres pondérés • Probabilités conditionnelles • Loi de probabilité.
Les conseils du correcteur
» et « sachant 
», les deux premières branches de l’arbre mènent aux événements 
et 
.
> 1. a) Calcul de p(T)
Puisqu’on est en situation d’équiprobabilité (on choisit un ménage au hasard) et que 70 % des ménages pratiquent le tri sélectif :
b) Calcul de pT (B) et 
D’après l’énoncé, « Parmi les ménages pratiquant le tri sélectif, 40 % consomment des produits bio » (il s’agit d’une probabilité conditionnelle « sachant 
») donc :
« Parmi les ménages ne pratiquant pas le tri sélectif, 10 % consomment des produits bio » donc :
> 2. Arbre pondéré
Puisque 70 % des ménages pratiquent le tri sélectif, 30 % ne le pratiquent pas.
D’autre part, les probabilités portées par les branches de second niveau (issues de T ou de 
) sont des probabilités conditionnelles. La somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud est égale à 1.
> 3. a) Calcul de p(T ∩ B)
L’événement : « le ménage pratique le tri sélectif et consomme des produits bio » est 
.
Or, 
.
b) Calcul de p(B)
.
.
> 4. Calcul de pB(T)
Notez bien
Ce résultat peut être interprété de la manière suivante : parmi les ménages consommant des produits bio, environ 90,3 % pratiquent le tri sélectif.
La probabilité que le ménage pratique le tri sélectif sachant qu’il consomme des produits bio est 
. D’après la définition d’une probabilité conditionnelle :
> 5. Probabilité de T ∪ B
.
Notez bien
En mathématiques, le « ou » est non exclusif : si un élément possède la propriété A ou la propriété B, cela signifie qu’il possède au moins une des deux propriétés, éventuellement les deux.
> 6. a) Détermination des valeurs possibles de S
Pour un ménage donné, il existe quatre situations possibles :
- Il pratique le tri sélectif et consomme des produits bio ; la probabilité est
; alors 
- Il pratique le tri sélectif mais ne consomme pas de produits bio ; la probabilité est
; alors 
- Il ne pratique pas le tri sélectif mais consomme des produits bio ; la probabilité est
; alors 
- Il ne pratique pas le tri sélectif et ne consomme pas de produits bio ; la probabilité est
; alors le ménage ne reçoit aucun chèque de la ville, 
.
Notez bien
Une variable aléatoire est une fonction qui, à toute issue d’une expérience aléatoire (à tout élément de l’univers) associe un nombre réel.
peut prendre quatre valeurs différentes : 30, 20, 10 et 0.
b) Loi de probabilité de S
Les résultats donnés au 
, résumée dans le tableau suivant :
|
|
0 |
10 |
20 |
30 |
|
|
0,27 |
0,03 |
0,42 |
0,28 |
Les résultats seront donnés sous forme décimale.