Habitudes écologiques des ménages

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Habitudes écologiques des ménages

Probabilités et statistiques • Conditionnement

Corrigé

31

Ens. spécifique

matT_1200_00_09C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Dans une ville, une enquête portant sur les habitudes des ménages en matière d’écologie a donné les résultats suivants :

  • 70 % des ménages pratiquent le tri sélectif ;
  • parmi ces ménages, 40 % consomment des produits bio ;
  • parmi les ménages ne pratiquant pas le tri sélectif, 10 % consomment des produits bio.

On choisit un ménage au hasard et on note :

  • l’événement « le ménage pratique le tri sélectif » et son événement contraire ;
  • l’événement « le ménage consomme des produits bio » et son événement contraire.

Les résultats seront donnés sous forme décimale.

>1.a) Donner sans justification la probabilité de l’événement . (0,25 point)

b) Donner sans justification et . (0,5 point)

>2. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré. (0,5 point)

>3.a) Calculer la probabilité de l’événement « le ménage pratique le tri sélectif et consomme des produits bio ». (0,5 point)

b) Montrer que la probabilité que le ménage consomme des produits bio est égale à 0,31. (0,5 point)

>4. Calculer la probabilité que le ménage pratique le tri sélectif sachant qu’il consomme des produits bio (le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au centième). (0,5 point)

>5. Calculer la probabilité de l’événement , puis interpréter ce résultat. (0,75 point)

>6. Cette ville décide de valoriser les ménages ayant un comportement écocitoyen. Pour cela, elle donne chaque année un chèque de 20 € aux ménages qui pratiquent le tri sélectif et un chèque de 10 € aux ménages qui consomment des produits bio sur présentation de justificatifs (les deux montants peuvent être cumulés).

Soit la somme d’argent reçue par un ménage.

a) Quelles sont les différentes valeurs que peut prendre  ? (On n’attend pas de justification.) (0,5 point)

b) Donner la loi de probabilité de . (0,5 point)

c) Calculer l’espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat. (0,5 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Arbres pondérés • Probabilités conditionnelles • Loi de probabilité.

Les conseils du correcteur

>  1. Puisque tous les ménages ont la même probabilité d’être choisis, on est en situation d’équiprobabilité. Traduisez en termes de probabilités les pourcentages donnés dans l’énoncé.

>  2. Puisqu’on connaît des probabilités « sachant  » et « sachant  », les deux premières branches de l’arbre mènent aux événements et .

>  3. b) Les ménages consommant des produits bio pratiquent ou ne pratiquent pas le tri sélectif.

>  4. Il s’agit d’une probabilité conditionnelle.

Corrigé

>1.a) Calcul de p(T)

Puisqu’on est en situation d’équiprobabilité (on choisit un ménage au hasard) et que 70 % des ménages pratiquent le tri sélectif :

b) Calcul de pT (B) et

D’après l’énoncé, « Parmi les ménages pratiquant le tri sélectif, 40 % consomment des produits bio » (il s’agit d’une probabilité conditionnelle « sachant  ») donc :

« Parmi les ménages ne pratiquant pas le tri sélectif, 10 % consomment des produits bio » donc :

>2. Arbre pondéré


Puisque 70 % des ménages pratiquent le tri sélectif, 30 % ne le pratiquent pas.

D’autre part, les probabilités portées par les branches de second niveau (issues de T ou de ) sont des probabilités conditionnelles. La somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud est égale à 1.

>3.a) Calcul de p(T ∩ B)

L’événement : « le ménage pratique le tri sélectif et consomme des produits bio » est .

Or, .

Donc 28 % des ménages pratiquent le tri sélectif et consomment des produits bio.

b) Calcul de p(B)

.

.

31 % des ménages consomment des produits bio.

>4. Calcul de pB(T)

Notez bien

Ce résultat peut être interprété de la manière suivante : parmi les ménages consommant des produits bio, environ 90,3 % pratiquent le tri sélectif.

La probabilité que le ménage pratique le tri sélectif sachant qu’il consomme des produits bio est . D’après la définition d’une probabilité conditionnelle :

>5. Probabilité de T ∪ B

.

Notez bien

En mathématiques, le « ou » est non exclusif : si un élément possède la propriété A ou la propriété B, cela signifie qu’il possède au moins une des deux propriétés, éventuellement les deux.

73 % des ménages pratiquent le tri sélectif ou (non exclusif) consomment des produits bio (éventuellement font les deux).

>6.a)  Détermination des valeurs possibles de S

Pour un ménage donné, il existe quatre situations possibles :

  • Il pratique le tri sélectif et consomme des produits bio ; la probabilité est  ; alors
  • Il pratique le tri sélectif mais ne consomme pas de produits bio ; la probabilité est  ; alors
  • Il ne pratique pas le tri sélectif mais consomme des produits bio ; la probabilité est  ; alors
  • Il ne pratique pas le tri sélectif et ne consomme pas de produits bio ; la probabilité est  ; alors le ménage ne reçoit aucun chèque de la ville, .

Notez bien

Une variable aléatoire est une fonction qui, à toute issue d’une expérience aléatoire (à tout élément de l’univers) associe un nombre réel.

Donc la variable aléatoire peut prendre quatre valeurs différentes : 30, 20, 10 et 0.

b) Loi de probabilité de S

Les résultats donnés au a) permettent de donner la loi de , résumée dans le tableau suivant :



0


10


20


30



0,27


0,03


0,42


0,28