Annale corrigée Exercice

Hauteurs d'un tétraèdre

Vecteurs, droites et plans de l'espace

1 heure

5 points

Intérêt du sujet  Dans cet exercice de géométrie dans l'espace, étudiez, à l'aide d'équations cartésiennes de plans, les hauteurs d'un tétraèdre. Sont-elles concourantes ? À quelles conditions ?

 

 

Le but de cet exercice est d'examiner, dans différents cas, si les hauteurs d'un tétraèdre sont concourantes, c'est-à-dire d'étudier l'existence d'un point d'intersection de ses quatre hauteurs.

On rappelle que dans un tétraèdre MNPQ, la hauteur issue de M est la droite passant par M orthogonale au plan (NPQ).

Partie A : Étude de cas particuliers

On considère un cube ABCDEFGH.

matT_1806_07_01C_04

On admet que les droites (AG), (BH), (CE) et (DF), appelées « grandes diagonales » du cube, sont concourantes.

▶ 1. On considère le tétraèdre ABCE.

a) Préciser la hauteur issue de E et la hauteur issue de C dans ce tétraèdre.

b) Les quatre hauteurs du tétraèdre ABCE sont-elles concourantes ?

2. On considère le tétraèdre ACHF et on travaille dans le repère A;AB,AD,AE.

a) Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ACH) est : x - yz = 0.

b) En déduire que (FD) est la hauteur issue de F du tétraèdre ACHF.

c) Par analogie avec le résultat précédent, préciser les hauteurs du tétraèdre ACHF issues respectivement des sommets A, C et H.

Les quatre hauteurs du tétraèdre ACHF sont-elles concourantes ?

Dans la suite de cet exercice, un tétraèdre dont les quatre hauteurs sont concourantes sera appelé un tétraèdre orthocentrique.

Partie B : Une propriété des tétraèdres orthocentriques

Dans cette partie, on considère un tétraèdre MNPQ dont les hauteurs issues des sommets M et N sont sécantes en un point K. Les droites (MK) et (NK) sont donc orthogonales aux plans (NPQ) et (MPQ) respectivement.

matT_1806_07_01C_05

1. a) Justifier que la droite (PQ) est orthogonale à la droite (MK) ; on admet de même que les droites (PQ) et (NK) sont orthogonales.

b) Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la droite (PQ) et au plan (MNK) ? Justifier la réponse.

▶ 2. Montrer que les arêtes [MN] et [PQ] sont orthogonales.

Ainsi, on obtient la propriété suivante :

« Si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux. »

(On dit que deux arêtes d'un tétraèdre sont « opposées » lorsqu'elles n'ont pas de sommet commun.)

Partie C : Application

Dans un repère orthonormé, on considère les points :

R (–3 ; 5 ; 2), S(1 ; 4 ; –2), T (4 ; –1 ; 5) et U (4 ; 7 ; 3).

Le tétraèdre RSTU est-il orthocentrique ? Justifier.

Les clés du sujet

Partie A

2. a) Vérifiez simplement que les coordonnées des points A, C et H vérifient l'équation x - yz = 0.

Partie C

Déterminez les coordonnées des vecteurs RT et SU. Calculez ensuite le produit scalaire RTSU. Utilisez enfin la contraposée de la propriété énoncée à la fin de la partie B pour conclure.

Partie A : étude de cas particuliers

1. a) Identifier des hauteurs dans un tétraèdre

Le quadrilatère ABFE est un carré donc (EA) ⊥ (AB). De même, le quadrilatère ADHE est un carré donc (EA) ⊥ (AD). La droite (EA) est ainsi orthogonale à deux droites sécantes du plan (ABC). La droite (EA) est donc orthogonale au plan (ABC). Il en résulte donc que la droite (EA), passant par E et orthogonale au plan (ABC), est la hauteur issue de E dans le tétraèdre ABCE.

Le quadrilatère CBFG est un carré donc (CB) ⊥ (BF). De même, le quadrilatère CBAD est un carré donc (CB) ⊥ (AB). La droite (CB) est ainsi orthogonale à deux droites sécantes du plan (ABE). La droite (CB) est donc orthogonale au plan (ABE). Il en résulte donc que la droite (CB), passant par C et orthogonale au plan (ABE), est la hauteur issue de C dans le tétraèdre ABCE.

b) Étudier la position relative de droites

D'après la question précédente, les droites (EA) et (CB) sont des hauteurs du tétraèdre ABCE. Or (EA) est parallèle à (FB) donc (EA) est strictement parallèle au plan (FBC). Comme la droite (BC) est incluse dans le plan (FBC), il en résulte que les droites (EA) et (BC) ne peuvent être sécantes.

Les droites (EA) et (BC), hauteurs du tétraèdre ABCE, ne sont pas sécantes donc les quatre hauteurs du tétraèdre ABCE ne sont pas concourantes.

2. a) Identifier un plan par son équation

Le point A, origine du repère, a pour coordonnées A(0 ; 0 ; 0).

On a alors xA - yAzA = 0 - 0 + 0 = 0 et A appartient au plan d'équation x - yz = 0.

Le point C est tel que AC=AB+BC=1AB+1AD+0AE ; il a donc pour coordonnées C(1 ; 1 ; 0). On a alors xC - yCzC = 1 - 1 + 0 = 0 et C appartient au plan d'équation x - yz = 0.

Le point H est tel que AH=AD+DH=0AB+1AD+1AE ; il a donc pour coordonnées H(0 ; 1 ; 1).

On a alors xH - yHzH = 0 - 1 + 1 = 0 et H appartient au plan d'équation x - yz = 0.

Finalement, le plan d'équation xy+z=0 est le plan (ACH).

b) Identifier une hauteur dans un tétraèdre

Le point D est tel que AD=0AB+1AD+0AE ; il a donc pour coordonnées D(0 ; 1 ; 0).

Le point F est tel que AF=AB+BF=1AB+0AD+1AE ; il a donc pour coordonnées F(1 ; 0 ; 1).

Nous avons alors DFxFxD=10=1yFyD=01=1zFzD=10=1 et DF est un vecteur normal au plan d'équation x - yz = 0 qui n'est autre que le plan (ACH).

La droite (DF), de vecteur directeur DF, passe par F et est orthogonale au plan (ACH). La droite (DF) est donc la hauteur issue de F du tétraèdre ACHF.

c) Étudier l'intersection éventuelle de hauteurs dans un tétraèdre

Par analogie avec le résultat précédent :

on vérifierait que (HFC) admet pour équation cartésienne xyz - 2 = 0, que AG est normal au plan (HFC) et finalement que la hauteur issue de A dans le tétraèdre ACHF est (AG) ;

on vérifierait que (AFC) admet pour équation cartésienne - xyz = 0, que BH est normal au plan (AFC) et finalement que la hauteur issue de H dans le tétraèdre ACHF est (HB) ;

on vérifierait que (AHF) admet pour équation cartésienne xy - z = 0, que EC est normal au plan (AHF) et finalement que la hauteur issue de C dans le tétraèdre ACHF est (CE) ;

d'après l'énoncé, les droites (AG), (BH), (CE) et (DF), appelées grandes diagonales du cube, sont concourantes.

Il résulte donc des quatre points précédents que les quatre hauteurs du tétraèdre ACHF que sont les droites (AG), (BH), (CE) et (DF) sont concourantes.

Partie B : une propriété des tétraèdres orthocentriques

1. a) Étudier la position relative de deux droites

D'après l'énoncé, la droite (MK) est orthogonale au plan (NPQ). Elle est donc orthogonale à toute droite du plan (NPQ). En particulier, la droite (MK) est orthogonale à la droite (PQ).

b) Étudier la position relative d'une droite et d'un plan

D'après la question précédente, la droite (PQ) est orthogonale à la droite (MK). D'après le résultat admis dans l'énoncé à la question 1. a) de la partie B, la droite (PQ) est orthogonale à la droite (NK). Ainsi, la droite (PQ) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (MNK) que sont les droites (MK) et (NK). Par conséquent, la droite (PQ) est orthogonale au plan (MNK).

2. Montrer une orthogonalité

La droite (PQ) est, d'après la question précédente, orthogonale au plan (MNK). Elle est donc orthogonale à toute droite du plan (MNK). En particulier, la droite (PQ) est orthogonale à la droite (MN). Les arêtes [MN] et [PQ] sont donc orthogonales.

Partie C : application

Étudier l'orthocentricité d'un tétraèdre

Nous avons RTxTxR=43=7yTyR=15=6zTzR=52=3 et SUxUxS=41=3yUyS=74=3zUzS=32=5.

Il vient alors : RTSU=7×3+6×3+3×5=180.

Les vecteurs RT et SU ne sont donc pas orthogonaux. Par conséquent, les arêtes opposées [RT] et [SU] dans le tétraèdre RSTU ne sont pas orthogonales. D'après la propriété donnée dans l'énoncé, nous savons que « si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux ». Nous venons d'identifier deux arêtes opposées dans le tétraèdre RSTU qui ne sont pas orthogonales. Par contraposée, il en résulte que le tétraèdre RSTU n'est pas orthocentrique.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner