Partie A : étude de cas particuliers

▶ 1. a) Identifier des hauteurs dans un tétraèdre

Le quadrilatère ABFE est un carré donc (EA) ⊥ (AB). De même, le quadrilatère ADHE est un carré donc (EA) ⊥ (AD). La droite (EA) est ainsi orthogonale à deux droites sécantes du plan (ABC). La droite (EA) est donc orthogonale au plan (ABC). Il en résulte donc que la droite $(\text{EA})$, passant par $\text{E}$ et orthogonale au plan $(\text{ABC})$, est la hauteur issue de $\text{E}$ dans le tétraèdre $\text{ABCE}$.

Le quadrilatère CBFG est un carré donc (CB) ⊥ (BF). De même, le quadrilatère CBAD est un carré donc (CB) ⊥ (AB). La droite (CB) est ainsi orthogonale à deux droites sécantes du plan (ABE). La droite (CB) est donc orthogonale au plan (ABE). Il en résulte donc que la droite $(\text{CB})$, passant par $\text{C}$ et orthogonale au plan $(\text{ABE})$, est la hauteur issue de $\text{C}$ dans le tétraèdre $\text{ABCE}$.

b) Étudier la position relative de droites

D'après la question précédente, les droites (EA) et (CB) sont des hauteurs du tétraèdre ABCE. Or $(\text{EA})$ est parallèle à (FB) donc $(\text{EA})$ est strictement parallèle au plan (FBC). Comme la droite $(\text{BC})$ est incluse dans le plan (FBC), il en résulte que les droites (EA) et (BC) ne peuvent être sécantes.

Les droites (EA) et (BC), hauteurs du tétraèdre ABCE, ne sont pas sécantes donc les quatre hauteurs du tétraèdre $\text{ABCE}$ ne sont pas concourantes.

▶ 2. a) Identifier un plan par son équation

Le point A, origine du repère, a pour coordonnées A(0 ; 0 ; 0).

On a alors x_A - y_A + z_A = 0 - 0 + 0 = 0 et A appartient au plan d'équation x - y + z = 0.

Le point C est tel que $\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}=1\overrightarrow{\text{AB}}+1\overrightarrow{\text{AD}}+0\overrightarrow{\text{AE}}$ ; il a donc pour coordonnées C(1 ; 1 ; 0). On a alors x_C - y_C + z_C = 1 - 1 + 0 = 0 et C appartient au plan d'équation x - y + z = 0.

Le point H est tel que $\overrightarrow{\text{AH}}=\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{DH}}=0\overrightarrow{\text{AB}}+1\overrightarrow{\text{AD}}+1\overrightarrow{\text{AE}}$ ; il a donc pour coordonnées H(0 ; 1 ; 1).

On a alors x_H - y_H + z_H = 0 - 1 + 1 = 0 et H appartient au plan d'équation x - y + z = 0.

Finalement, le plan d'équation $x-y+z=0$ est le plan $(\text{ACH})$.

b) Identifier une hauteur dans un tétraèdre

Le point D est tel que $\overrightarrow{\text{AD}}=0\overrightarrow{\text{AB}}+1\overrightarrow{\text{AD}}+0\overrightarrow{\text{AE}}$ ; il a donc pour coordonnées D(0 ; 1 ; 0).

Le point F est tel que $\overrightarrow{\text{AF}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BF}}=1\overrightarrow{\text{AB}}+0\overrightarrow{\text{AD}}+1\overrightarrow{\text{AE}}$ ; il a donc pour coordonnées F(1 ; 0 ; 1).

Nous avons alors $\overrightarrow{\text{DF}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{F}}-x_{\text{D}}=1-0=1\hfill \\ y_{\text{F}}-y_{\text{D}}=0-1=-1\hfill \\ z_{\text{F}}-z_{\text{D}}=1-0=1\hfill \end{array}\right.$ et $\overrightarrow{\text{DF}}$ est un vecteur normal au plan d'équation x - y + z = 0 qui n'est autre que le plan (ACH).

La droite (DF), de vecteur directeur $\overrightarrow{\text{DF}}$, passe par F et est orthogonale au plan (ACH). La droite $(\text{DF})$ est donc la hauteur issue de $\text{F}$ du tétraèdre $\text{ACHF}$.

c) Étudier l'intersection éventuelle de hauteurs dans un tétraèdre

Par analogie avec le résultat précédent :

on vérifierait que (HFC) admet pour équation cartésienne x + y + z - 2 = 0, que $\overrightarrow{\text{AG}}$ est normal au plan (HFC) et finalement que la hauteur issue de $\text{A}$ dans le tétraèdre $\text{ACHF}$ est $(\text{AG})$ ;

on vérifierait que (AFC) admet pour équation cartésienne - x + y + z = 0, que $\overrightarrow{\text{BH}}$ est normal au plan (AFC) et finalement que la hauteur issue de $\text{H}$ dans le tétraèdre $\text{ACHF}$ est $(\text{HB})$ ;

on vérifierait que (AHF) admet pour équation cartésienne x + y - z = 0, que $\overrightarrow{\text{EC}}$ est normal au plan (AHF) et finalement que la hauteur issue de $\text{C}$ dans le tétraèdre $\text{ACHF}$ est $\text{(CE)}$ ;

d'après l'énoncé, les droites $(\text{AG}),(\text{BH}),(\text{CE})\text{ et }(\text{DF})$, appelées grandes diagonales du cube, sont concourantes.

Il résulte donc des quatre points précédents que les quatre hauteurs du tétraèdre $\text{ACHF}$ que sont les droites $(\text{AG}),(\text{BH}),(\text{CE})\text{ et (DF)}$ sont concourantes.

Partie B : une propriété des tétraèdres orthocentriques

▶ 1. a) Étudier la position relative de deux droites

D'après l'énoncé, la droite $(\text{MK})$ est orthogonale au plan $(\text{NPQ})$. Elle est donc orthogonale à toute droite du plan $(\text{NPQ})$. En particulier, la droite $(\text{MK})$ est orthogonale à la droite $(\text{PQ})$.

b) Étudier la position relative d'une droite et d'un plan

D'après la question précédente, la droite $(\text{PQ})$ est orthogonale à la droite $(\text{MK})$. D'après le résultat admis dans l'énoncé à la question 1. a) de la partie B, la droite $(\text{PQ})$ est orthogonale à la droite $(\text{NK})$. Ainsi, la droite $(\text{PQ})$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $(\text{MNK})$ que sont les droites $(\text{MK})$ et $(\text{NK})$. Par conséquent, la droite $(\text{PQ})$ est orthogonale au plan $(\text{MNK})$.

▶ 2. Montrer une orthogonalité

La droite $(\text{PQ})$ est, d'après la question précédente, orthogonale au plan $(\text{MNK})$. Elle est donc orthogonale à toute droite du plan $(\text{MNK})$. En particulier, la droite $(\text{PQ})$ est orthogonale à la droite $(\text{MN})$. Les arêtes $[\text{MN}]$ et $[\text{PQ}]$ sont donc orthogonales.

Partie C : application

Étudier l'orthocentricité d'un tétraèdre

Nous avons $\overrightarrow{\text{RT}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{T}}-x_{\text{R}}=4-\left(-3\right)=7\hfill \\ y_{\text{T}}-y_{\text{R}}=-1-5=-6\hfill \\ z_{\text{T}}-z_{\text{R}}=5-2=3\hfill \end{array}\right.$ et $\overrightarrow{\text{SU}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{U}}-x_{\text{S}}=4-1=3\hfill \\ y_{\text{U}}-y_{\text{S}}=7-4=3\hfill \\ z_{\text{U}}-z_{\text{S}}=3-\left(-2\right)=5\hfill \end{array}\right.$.

Il vient alors : $\overrightarrow{\text{RT}}\cdot \overrightarrow{\text{SU}}=7\times 3+\left(-6\right)\times 3+3\times 5=18\ne 0$.

Les vecteurs $\overrightarrow{\text{RT}}$ et $\overrightarrow{\text{SU}}$ ne sont donc pas orthogonaux. Par conséquent, les arêtes opposées [RT] et [SU] dans le tétraèdre RSTU ne sont pas orthogonales. D'après la propriété donnée dans l'énoncé, nous savons que « si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux ». Nous venons d'identifier deux arêtes opposées dans le tétraèdre RSTU qui ne sont pas orthogonales. Par contraposée, il en résulte que le tétraèdre $\text{RSTU}$ n'est pas orthocentrique.