Idée pour la suite

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Polynésie française


Polynésie française • Juin 2016

Exercice 2 • 3 points

Idée pour la suite

Soit u la suite définie par u0 = 2 et, pour tout entier naturel n, par :

un+1 = 2un + 2n2n.

On considère également la suite v définie, pour tout entier naturel n, par :

vn = un + 2n2 + 3n + 5.

▶ 1. Voici ci-contre un extrait de feuille de tableur.

matT_1606_13_00C_02

Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites u et ?

▶ 2. Déterminer, en justifiant, une expression de vn et de un en fonction de n uniquement.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 40 minutes.

Les thèmes clés

Généralités sur les suites • Suites géométriques • Tableur.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Suites géométriques  E4a • E4b 2.

Nos coups de pouce

 2. Conjecturez tout d’abord la nature de la suite (vn) à partir de l’extrait de feuille de tableur donné, en particulier la colonne C. Pour valider ou corriger votre conjecture, exprimez vn+1 en fonction de vn. Pour ce faire, remplacez n par n+1 dans l’expression de vn, puis remplacez un+1 par son expression et simplifiez le tout. Faites alors apparaître vn en factorisant et concluez.

Corrigé

Corrigé

▶ 1. Compléter une feuille de tableur

Dans la cellule B3 est affiché le terme u1. Par définition de la suite (un), ce terme est la somme du double du terme u0 (cellule B2) et de l’expression 2n2n, pour n=0 (cellule A2). Par suite, la formule écrite dans la cellule B3 est : =2*B2+2*A2^2A2.

Dans la cellule C2 est affiché le terme v0. Par définition de la suite (vn), ce terme est la somme du terme u0 (cellule B2) et de l’expression 2n2+3n+5, pour n=0 (cellule A2). Par suite, la formule écrite dans la cellule C2 est : =B2+2*A2^2+3*A2+5.

▶ 2. Déterminer une formule explicite d’une suite

D’après l’extrait de feuille de tableur, en particulier la colonne C, nous avons : v0=7,v1=14,v2=28 et v3=56. Nous constatons que : v1=2v0,v2=2v1 et v3=2v2. Nous pouvons alors conjecturer que la suite (vn) est géométrique de raison 2 et de premier terme 7.

Soit n un entier naturel. Nous avons :

vn+1=un+1+2(n+1)2+3(n+1)+5     =un+1+2(n2+2n+1)+3n+3+5     =un+1+2n2+7n+10.

Par définition de la suite (un), il s’ensuit que :

vn+1=(2un+2n2n)+2n2+7n+10     =2un+4n2+6n+10.

En factorisant par 2, nous en concluons que :

vn+1=2×un+2×2n2+2×3n+2×5      =2×(un+2n2+3n+5)      =2×vn.

La suite (vn) est donc géométrique de raison 2 et de premier terme v0=u0+2×02+3×0+5=2+5=7. Ainsi, pour tout entier naturel n, nous avons (formule explicite) : vn=7×2n.

Or, vn=un+2n2+3n+5 qui s’écrit également un=vn2n23n5.

Nous en concluons ainsi que pour tout entier naturel n : un=7×2n2n23n5.