Suites numériques

matT_1606_13_01C

Ens. spécifique

Polynésie française • Juin 2016

Exercice 2 • 3 points

Idée pour la suite

Soit u la suite définie par u0 = 2 et, pour tout entier naturel n, par :

un+1 = 2un + 2n2 − n.

On considère également la suite v définie, pour tout entier naturel n, par :

vn = un + 2n2 + 3n + 5.

▶ 1. Voici ci-contre un extrait de feuille de tableur.

matT_1606_13_00C_02

Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites u et v ?

▶ 2. Déterminer, en justifiant, une expression de vn et de un en fonction de n uniquement.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 40 minutes.

Les thèmes clés

Généralités sur les suites • Suites géométriques • Tableur.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Suites géométriques E4a • E4b → 2.

Nos coups de pouce

▶ 2. Conjecturez tout d’abord la nature de la suite $(v_{n})$ à partir de l’extrait de feuille de tableur donné, en particulier la colonne C. Pour valider ou corriger votre conjecture, exprimez $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n} .$ Pour ce faire, remplacez $n$ par $n + 1$ dans l’expression de $v_{n},$ puis remplacez $u_{n + 1}$ par son expression et simplifiez le tout. Faites alors apparaître $v_{n}$ en factorisant et concluez.

Corrigé

▶ 1. Compléter une feuille de tableur

Dans la cellule B3 est affiché le terme $u_{1} .$ Par définition de la suite $(u_{n}),$ ce terme est la somme du double du terme $u_{0}$ (cellule B2) et de l’expression $2 n^{2} - n,$ pour $n = 0$ (cellule A2). Par suite, la formule écrite dans la cellule B3 est : $= 2*B2 + 2*A2^2 - A2$ .

Dans la cellule C2 est affiché le terme $v_{0} .$ Par définition de la suite $(v_{n}),$ ce terme est la somme du terme $u_{0}$ (cellule B2) et de l’expression $2 n^{2} + 3 n + 5,$ pour $n = 0$ (cellule A2). Par suite, la formule écrite dans la cellule C2 est : $= B2+2*A2^2+3*A2+5$ .

▶ 2. Déterminer une formule explicite d’une suite

D’après l’extrait de feuille de tableur, en particulier la colonne C, nous avons : $v_{0} = 7,$ $v_{1} = 14,$ $v_{2} = 28$ et $v_{3} = 56 .$ Nous constatons que : $v_{1} = 2 v_{0},$ $v_{2} = 2 v_{1}$ et $v_{3} = 2 v_{2} .$ Nous pouvons alors conjecturer que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison 2 et de premier terme 7.

Soit $n$ un entier naturel. Nous avons :

$\begin{matrix} v_{n + 1} = u_{n + 1} + 2 {(n + 1)}^{2} + 3 (n + 1) + 5 \\ = u_{n + 1} + 2 (n^{2} + 2 n + 1) + 3 n + 3 + 5 \\ = u_{n + 1} + 2 n^{2} + 7 n + 10 . \end{matrix}$

Par définition de la suite $(u_{n})$ , il s’ensuit que :

$\begin{matrix} v_{n + 1} = (2 u_{n} + 2 n^{2} - n) + 2 n^{2} + 7 n + 10 \\ = 2 u_{n} + 4 n^{2} + 6 n + 10 . \end{matrix}$

En factorisant par 2, nous en concluons que :

$\begin{array}{l} v_{n + 1} = 2 \times u_{n} + 2 \times 2 n^{2} + 2 \times 3 n + 2 \times 5 \\ = 2 \times (u_{n} + 2 n^{2} + 3 n + 5) \\ = 2 \times v_{n} . \end{array}$

La suite $(v_{n})$ est donc géométrique de raison 2 et de premier terme $v_{0} = u_{0} + 2 \times 0^{2} + 3 \times 0 + 5 = 2 + 5 = 7 .$ Ainsi, pour tout entier naturel $n,$ nous avons (formule explicite) : $v_{n} = 7 \times 2^{n}$ .

Or, $v_{n} = u_{n} + 2 n^{2} + 3 n + 5$ qui s’écrit également $u_{n} = v_{n} - 2 n^{2} - 3 n - 5 .$

Nous en concluons ainsi que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n} = 7 \times 2^{n} - 2 n^{2} - 3 n - 5$ .