Suites numériques
matT_1606_13_01C
Ens. spécifique
7
Polynésie française • Juin 2016
Exercice 2 • 3 points
Idée pour la suite
Soit u la suite définie par u0 = 2 et, pour tout entier naturel n, par :
un+1 = 2un + 2n2 − n.
On considère également la suite v définie, pour tout entier naturel n, par :
vn = un + 2n2 + 3n + 5.
▶ 1. Voici ci-contre un extrait de feuille de tableur.
Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites u et v ?
▶ 2. Déterminer, en justifiant, une expression de vn et de un en fonction de n uniquement.
Les clés du sujet
Durée conseillée : 40 minutes.
Les thèmes clés
Généralités sur les suites • Suites géométriques • Tableur.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Suites géométriques E4a • E4b → 2.
Nos coups de pouce
▶ 2. Conjecturez tout d'abord la nature de la suite à partir de l'extrait de feuille de tableur donné, en particulier la colonne C. Pour valider ou corriger votre conjecture, exprimez en fonction de Pour ce faire, remplacez par dans l'expression de puis remplacez par son expression et simplifiez le tout. Faites alors apparaître en factorisant et concluez.
Corrigé
▶ 1. Compléter une feuille de tableur
Dans la cellule B3 est affiché le terme Par définition de la suite ce terme est la somme du double du terme (cellule B2) et de l'expression pour (cellule A2). Par suite, la formule écrite dans la cellule B3 est : .
Dans la cellule C2 est affiché le terme Par définition de la suite ce terme est la somme du terme (cellule B2) et de l'expression pour (cellule A2). Par suite, la formule écrite dans la cellule C2 est : .
▶ 2. Déterminer une formule explicite d'une suite
D'après l'extrait de feuille de tableur, en particulier la colonne C, nous avons : et Nous constatons que : et Nous pouvons alors conjecturer que la suite est géométrique de raison 2 et de premier terme 7.
Soit un entier naturel. Nous avons :
Par définition de la suite , il s'ensuit que :
En factorisant par 2, nous en concluons que :
La suite est donc géométrique de raison 2 et de premier terme Ainsi, pour tout entier naturel nous avons (formule explicite) : .
Or, qui s'écrit également
Nous en concluons ainsi que pour tout entier naturel : .