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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Afrique


Afrique • Juin 2015

Exercice 4 • 5 points

Impression d’un logo

Les parties A et B sont indépendantes.

Le fabricant de cadenas de la marque « K » désire imprimer un logo pour son entreprise.

Ce logo a la forme d’une lettre majuscule K stylisée, inscrite dans un carré ABCD, de côté une unité de longueur, et respectant les conditions C1 et C2 suivantes.

Condition C1 : la lettre K doit être constituée de trois lignes :

une des lignes est le segment [AD] ;

une deuxième ligne a pour extrémités le point A et un point E du segment [DC] ;

la troisième ligne a pour extrémité le point B et un point G situé sur la deuxième ligne.

Condition C2 : l’aire de chacune des trois surfaces délimitées par les trois lignes dessinées dans le carré doit être comprise entre 0,3 et 0,4, l’unité d’aire étant celle du carré. Ces aires sont notées r, s, t sur les figures ci-après.

Un atelier de design propose deux dessins possibles, représentés ci-dessous.

matT_1506_01_00C_02

Proposition A

matT_1506_01_00C_03

Proposition B

Pour mener les études qui suivent, on se place dans le repère orthonormé 3154708-Eqn8.

Partie A : étude de la proposition A

Dans cette proposition les trois lignes sont des segments et les trois aires sont égales : 3154708-Eqn9.

Déterminer les coordonnées des points E et G.

Partie B : étude de la proposition B

Cette proposition est caractérisée par les deux modalités suivantes :

la ligne d’extrémités A et E est une portion de la représentation graphique de la fonction f définie pour tout réel x  0 par : f(x= ln(2x + 1) ;

la ligne d’extrémités B et G est une portion de la représentation graphique de la fonction g définie pour tout réel x > 0 par :3154708-Eqn10, où k est un réel positif qui sera déterminé.

1. a) Déterminer l’abscisse du point E.

b) Déterminer la valeur du réel k, sachant que l’abscisse du point G est égale à 0,5.

2. a) Démontrer que la fonction f admet pour primitive la fonction F définie pour tout réel x  0 par : F(x= (x + 0,5) × ln(2x + l) – x.

b) Démontrer que 3154708-Eqn11.

3. Déterminer une primitive G de la fonction g sur l’intervalle 3154708-Eqn12.

4. On admet que les résultats précédents permettent d’établir que 3154708-Eqn13.

La proposition B remplit-elle les conditions imposées par le fabricant ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Logarithme népérien • Dérivation • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Dérivation  E6e • E6f Partie B, 2. a)

Continuité  E7b Partie B, 2. b)

Logarithme népérien  E9a • E9d • E9e Partie B

Primitives  E11a • E11c Partie B, 2. a) et 3.

Intégration  E13 • E14 Partie B, 2. b)

Nos coups de pouce

Partie A

Pensez à utiliser le théorème de Thalès dans un triangle bien choisi pour déterminer l’abscisse du point G.

Partie B

2. b) Exploitez la figure fournie pour déterminer comment calculer 3154708-Eqn26 à l’aide, entre autres, d’un calcul d’intégrale.

Corrigé

Corrigé

partie a : étude de la proposition a

Notons 3154708-Eqn290 les coordonnées du point E dans le repère 3154708-Eqn291. Nous avons tout d’abord :

3154708-Eqn292. Donc 3154708-Eqn293.

Notez bien

3154708-Eqn294.

Remarquons ensuite que 3154708-Eqn295 est l’aire du triangle ADE rectangle en D. Nous avons donc :

3154708-Eqn296.

Le point E a donc pour coordonnées 3154708-Eqn297.

Notons 3154708-Eqn298 les coordonnées du point G dans le repère 3154708-Eqn299.

Remarquons tout d’abord que 3154708-Eqn300 est l’aire du triangle AGB. La hauteur issue de G dans ce triangle a une longueur égale à 3154708-Eqn301. Nous avons donc :

3154708-Eqn302.

Notons H le point d’intersection de [AD] avec la parallèle à (DE) passant par G.

matT_1506_01_00C_11

Dans le triangle ADE, les points A, G, E et A, H, D sont alignés dans cet ordre et la droite (GH) est parallèle à la droite (DE). D’après le théorème de Thalès, nous pouvons écrire :

3154708-Eqn303.

En remarquant que 3154708-Eqn304 et 3154708-Eqn305, nous avons :

3154708-Eqn306.

Le point G a donc pour coordonnées 3154708-Eqn307.

partie b : étude de la proposition b

1. a) Déterminer l’abscisse d’un point

E appartient à la ligne d’extrémités A et E qui est une portion de la courbe représentative de la fonction 3154708-Eqn308 et son ordonnée est 3154708-Eqn309. Pour déterminer son abscisse 3154708-Eqn310, il faut donc résoudre, pour 3154708-Eqn311, l’équation 3154708-Eqn312.

Notez bien

• Pour tous réels 3154708-Eqn313 et 3154708-Eqn314 strictement positifs : 3154708-Eqn315.

3154708-Eqn316.

3154708-Eqn317

Le point E a donc pour abscisse 3154708-Eqn318.

b) Déterminer la valeur d’une constante

G appartient à la ligne d’extrémités A et E qui est une portion de la courbe représentative de la fonction 3154708-Eqn319 donc 3154708-Eqn320.

G appartient aussi à la ligne d’extrémités B et G qui est une portion de la courbe représentative de la fonction 3154708-Eqn321 donc 3154708-Eqn322.

Sachant que 3154708-Eqn323, en regroupant les deux informations précédentes, nous obtenons :

3154708-Eqn324.

Le réel 3154708-Eqn325est égal à 3154708-Eqn326.

2. a) Identifier une primitive d’une fonction donnée

La fonction 3154708-Eqn327 est une fonction affine, donc elle est dérivable sur l’intervalle 3154708-Eqn328, et sur cet intervalle, 3154708-Eqn329. La fonction ln est dérivable sur 3154708-Eqn330. Par composition, la fonction 3154708-Eqn331 est dérivable sur 3154708-Eqn332.

La fonction 3154708-Eqn333 est donc dérivable sur 3154708-Eqn334 comme produits et somme de fonctions dérivables sur 3154708-Eqn335.

Notez bien

Si 3154708-Eqn336 est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors : 3154708-Eqn337.

Pour tout réel 3154708-Eqn338, nous avons :

3154708-Eqn339

3154708-Eqn340est donc une primitive de 3154708-Eqn341sur 3154708-Eqn342.

b) Calculer une aire

Notez bien

Pour tous réels 3154708-Eqn343 et 3154708-Eqn344 strictement positifs : 3154708-Eqn345.

La fonction 3154708-Eqn346 est dérivable donc continue sur 3154708-Eqn347.

Pour tout réel 3154708-Eqn348 : 3154708-Eqn349.

La fonction 3154708-Eqn350 est donc positive sur 3154708-Eqn351.

Nous pouvons remarquer que 3154708-Eqn352 est obtenu en faisant la différence entre l’aire du rectangle de longueur AD et de largeur DE d’une part, et l’aire située sous la portion de la courbe représentative de la fonction 3154708-Eqn353 sur l’intervalle 3154708-Eqn354 d’autre part.

Nous avons ainsi :

3154708-Eqn355.

Par conséquent :

3154708-Eqn356

Nous avons bien 3154708-Eqn357.

3. Déterminer une primitive d’une fonction donnée

D’après la question 1. b) de la partie B, nous savons que 3154708-Eqn358.

Par conséquent, pour tout réel 3154708-Eqn359 :

3154708-Eqn360.

Une primitive 3154708-Eqn361 de 3154708-Eqn362 sur 3154708-Eqn363 est donc donnée par :

3154708-Eqn364.

4. Étudier une proposition

D’après la question 2. b) de la partie B, nous avons 3154708-Eqn365.

D’après l’énoncé, nous avons ici 3154708-Eqn366.

À l’aide de la calculatrice, nous obtenons 3154708-Eqn367 et 3154708-Eqn368.

Par conséquent, puisque 3154708-Eqn369 (aire du carré ABCD), nous avons 3154708-Eqn370.

La condition C1 est respectée.

La condition C2 (3154708-Eqn371 ; 3154708-Eqn372 et 3154708-Eqn373) imposée par le fabricant est respectée.

La proposition B remplit donc les conditions imposées par le fabricant.