Fonction logarithme népérien
matT_1506_01_02C
Ens. spécifique
17
CORRIGE
Afrique • Juin 2015
Exercice 4 • 5 points
Impression d'un logo
Les parties A et B sont indépendantes.
Le fabricant de cadenas de la marque « K » désire imprimer un logo pour son entreprise.
Ce logo a la forme d'une lettre majuscule K stylisée, inscrite dans un carré ABCD, de côté une unité de longueur, et respectant les conditions C1 et C2 suivantes.
Condition C1 : la lettre K doit être constituée de trois lignes :
une des lignes est le segment [AD]
une deuxième ligne a pour extrémités le point A et un point E du segment [DC]
la troisième ligne a pour extrémité le point B et un point G situé sur la deuxième ligne.
Condition C2 : l'aire de chacune des trois surfaces délimitées par les trois lignes dessinées dans le carré doit être comprise entre 0,3 et 0,4, l'unité d'aire étant celle du carré. Ces aires sont notées r, s, t sur les figures ci-après.
Un atelier de design propose deux dessins possibles, représentés ci-dessous.
Proposition A
Proposition B
Pour mener les études qui suivent, on se place dans le repère orthonormé 
.
Partie A : étude de la proposition A
Dans cette proposition les trois lignes sont des segments et les trois aires sont égales : 
.
Déterminer les coordonnées des points E et G.
Partie B : étude de la proposition B
Cette proposition est caractérisée par les deux modalités suivantes :
la ligne d'extrémités A et E est une portion de la représentation graphique de la fonction f définie pour tout réel x ≥ 0 par : f(x) = ln(2x + 1)
la ligne d'extrémités B et G est une portion de la représentation graphique de la fonction g définie pour tout réel x > 0 par :
, où k est un réel positif qui sera déterminé.
▶ 1. a) Déterminer l'abscisse du point E.
b) Déterminer la valeur du réel k, sachant que l'abscisse du point G est égale à 0,5.
▶ 2. a) Démontrer que la fonction f admet pour primitive la fonction F définie pour tout réel x ≥ 0 par : F(x) = (x + 0,5) × ln(2x + l) – x.
b) Démontrer que 
.
▶ 3. Déterminer une primitive G de la fonction g sur l'intervalle 
.
▶ 4. On admet que les résultats précédents permettent d'établir que 
.
La proposition B remplit-elle les conditions imposées par le fabricant ?
Les clés du sujet
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Logarithme népérien • Dérivation • Calcul intégral.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Dérivation E6e • E6f → Partie B, 2. a)
Continuité E7b → Partie B, 2. b)
Logarithme népérien E9a • E9d • E9e → Partie B
Primitives E11a • E11c → Partie B, 2. a) et 3.
Intégration E13 • E14 → Partie B, 2. b)
Nos coups de pouce
Partie A
Pensez à utiliser le théorème de Thalès dans un triangle bien choisi pour déterminer l'abscisse du point G.
Partie B
▶ 2. b) Exploitez la figure fournie pour déterminer comment calculer 
à l'aide, entre autres, d'un calcul d'intégrale.
Corrigé
partie a : étude de la proposition a
Notons 
les coordonnées du point E dans le repère 
. Nous avons tout d'abord :
. Donc 
.
Notez bien
.
Remarquons ensuite que 
est l'aire du triangle ADE rectangle en D. Nous avons donc :
.
Le point E a donc pour coordonnées 
.
Notons 
les coordonnées du point G dans le repère 
.
Remarquons tout d'abord que 
est l'aire du triangle AGB. La hauteur issue de G dans ce triangle a une longueur égale à 
. Nous avons donc :
.
Notons H le point d'intersection de [AD] avec la parallèle à (DE) passant par G.
Dans le triangle ADE, les points A, G, E et A, H, D sont alignés dans cet ordre et la droite (GH) est parallèle à la droite (DE). D'après le théorème de Thalès, nous pouvons écrire :
.
En remarquant que 
et 
, nous avons :
.
Le point G a donc pour coordonnées 
.
partie b : étude de la proposition b
▶ 1. a) Déterminer l'abscisse d'un point
E appartient à la ligne d'extrémités A et E qui est une portion de la courbe représentative de la fonction 
et son ordonnée est 
. Pour déterminer son abscisse 
, il faut donc résoudre, pour 
, l'équation 
.
Notez bien
• Pour tous réels 
et 
strictement positifs : 
.
• 
.
Le point E a donc pour abscisse 
.
b) Déterminer la valeur d'une constante
G appartient à la ligne d'extrémités A et E qui est une portion de la courbe représentative de la fonction 
donc 
.
G appartient aussi à la ligne d'extrémités B et G qui est une portion de la courbe représentative de la fonction 
donc 
.
Sachant que 
, en regroupant les deux informations précédentes, nous obtenons :
.
Le réel 
est égal à 
.
▶ 2. a) Identifier une primitive d'une fonction donnée
La fonction 
est une fonction affine, donc elle est dérivable sur l'intervalle 
, et sur cet intervalle, 
. La fonction ln est dérivable sur 
. Par composition, la fonction 
est dérivable sur 
.
La fonction 
est donc dérivable sur 
comme produits et somme de fonctions dérivables sur 
.
Notez bien
Si 
est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors : 
.
Pour tout réel 
, nous avons :
est donc une primitive de 
sur 
.
b) Calculer une aire
Notez bien
Pour tous réels 
et 
strictement positifs : 
.
La fonction 
est dérivable donc continue sur 
.
Pour tout réel 
: 
.
La fonction 
est donc positive sur 
.
Nous pouvons remarquer que 
est obtenu en faisant la différence entre l'aire du rectangle de longueur AD et de largeur DE d'une part, et l'aire située sous la portion de la courbe représentative de la fonction 
sur l'intervalle 
d'autre part.
Nous avons ainsi :
.
Par conséquent :
Nous avons bien 
.
▶ 3. Déterminer une primitive d'une fonction donnée
D'après la question 1. b) de la partie B, nous savons que 
.
Par conséquent, pour tout réel 
:
.
Une primitive 
de 
sur 
est donc donnée par :
.
▶ 4. Étudier une proposition
D'après la question 2. b) de la partie B, nous avons 
.
D'après l'énoncé, nous avons ici 
.
À l'aide de la calculatrice, nous obtenons 
et 
.
Par conséquent, puisque 
(aire du carré ABCD), nous avons 
.
La condition C1 est respectée.
La condition C2 (
et 
) imposée par le fabricant est respectée.
La proposition B remplit donc les conditions imposées par le fabricant.