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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Afrique


Afrique • Juin 2015

Exercice 4 • 5 points

Impression d’un logo

Les parties A et B sont indépendantes.

Le fabricant de cadenas de la marque « K » désire imprimer un logo pour son entreprise.

Ce logo a la forme d’une lettre majuscule K stylisée, inscrite dans un carré ABCD, de côté une unité de longueur, et respectant les conditions C1 et C2 suivantes.

Condition C1 : la lettre K doit être constituée de trois lignes :

une des lignes est le segment [AD] ;

une deuxième ligne a pour extrémités le point A et un point E du segment [DC] ;

la troisième ligne a pour extrémité le point B et un point G situé sur la deuxième ligne.

Condition C2 : l’aire de chacune des trois surfaces délimitées par les trois lignes dessinées dans le carré doit être comprise entre 0,3 et 0,4, l’unité d’aire étant celle du carré. Ces aires sont notées r, s, t sur les figures ci-après.

Un atelier de design propose deux dessins possibles, représentés ci-dessous.

matT_1506_01_00C_02

Proposition A

matT_1506_01_00C_03

Proposition B

Pour mener les études qui suivent, on se place dans le repère orthonormé 3154708-Eqn8.

Partie A : étude de la proposition A

Dans cette proposition les trois lignes sont des segments et les trois aires sont égales : 3154708-Eqn9.

Déterminer les coordonnées des points E et G.

Partie B : étude de la proposition B

Cette proposition est caractérisée par les deux modalités suivantes :

la ligne d’extrémités A et E est une portion de la représentation graphique de la fonction f définie pour tout réel x  0 par : f(x= ln(2x + 1) ;

la ligne d’extrémités B et G est une portion de la représentation graphique de la fonction g définie pour tout réel x > 0 par :3154708-Eqn10, où k est un réel positif qui sera déterminé.

1. a) Déterminer l’abscisse du point E.

b) Déterminer la valeur du réel k, sachant que l’abscisse du point G est égale à 0,5.

2. a) Démontrer que la fonction f admet pour primitive la fonction F définie pour tout réel x  0 par : F(x= (x + 0,5) × ln(2x + l) – x.

b) Démontrer que 3154708-Eqn11.

3. Déterminer une primitive G de la fonction g sur l’intervalle 3154708-Eqn12.

4. On admet que les résultats précédents permettent d’établir que 3154708-Eqn13.

La proposition B remplit-elle les conditions imposées par le fabricant ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 minutes.

Les thèmes clés

Logarithme népérien • Dérivation • Calcul intégral.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Dérivation  E6e • E6f Partie B, 2. a)

Continuité  E7b Partie B, 2. b)

Logarithme népérien  E9a • E9d • E9e Partie B

Primitives  E11a • E11c Partie B, 2. a) et 3.

Intégration  E13 • E14 Partie B, 2. b)

Nos coups de pouce

Partie A

Pensez à utiliser le théorème de Thalès dans un triangle bien choisi pour déterminer l’abscisse du point G.

Partie B

2. b) Exploitez la figure fournie pour déterminer comment calculer 3154708-Eqn26 à l’aide, entre autres, d’un calcul d’intégrale.