▶ 1. Indiquer les signes des charges électriques portées par les plaques du condensateur et en déduire l’orientation du champ électrique

Des charges électriques de signes opposés s’attirent. Or, la goutte chargée négativement est attirée vers la plaque P₁ qui est donc chargée positivement.

Dans un condensateur plan, les deux armatures portent des charges de signes opposés. Par conséquent, la plaque P₂ est chargée négativement.

Le champ électrique créé entre les armatures d’un condensateur plan est orienté de la plaque chargée positivement vers la plaque chargée négativement. Le vecteur $\overrightarrow{E}$ est donc orienté de P₁ vers P₂ : $\overrightarrow{E}$ = −E$\overrightarrow{k}$.

▶ 2. Établir l’expression du vecteur accélération de la goutte

On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen pour pouvoir appliquer la deuxième loi de Newton à la goutte G se déplaçant entre les deux plaques du déflecteur.

Les valeurs respectives de l’action mécanique de l’air et du poids de la goutte sont supposées négligeables devant la valeur de la force électrique $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}=-qE\overrightarrow{k}$.

La deuxième loi de Newton s’écrit donc : $m\overrightarrow{a_G}=\overrightarrow{F}$. Par conséquent, le vecteur accélération de la goutte de masse m et de charge q s’exprime : $\overrightarrow{a_{\text{G}}}=\overrightarrow{\frac{F}{m}}$, soit $\overrightarrow{a_{\text{G}}}=\frac{q\overrightarrow{E}}{m}$ ou bien $\overrightarrow{a_{\text{G}}}=\frac{-qE}{m}\overrightarrow{k}$.

▶ 3. Établir les expressions horaires des coordonnées de G

Dans le repère $(\text{O},\overrightarrow{i},\overrightarrow{k})$, le vecteur accélération s’exprime : $\overrightarrow{a_{\text{G}}}=\frac{-qE}{m}\overrightarrow{k}$.

Les coordonnées de ce vecteur accélération sont donc : $\left(\begin{array}{c}{a}_{\text{x}}\left(t\right)=0\\ a_{\text{z}}\left(t\right)=\frac{-qE}{m}\end{array}\right).$

Le vecteur accélération $\overrightarrow{a_{\text{G}}}$ est la dérivée temporelle du vecteur vitesse $\overrightarrow{v_{\text{G}}}$ donc : $\left(\begin{array}{c}{a}_{\text{x}}=\frac{d{v}_{\text{x}}}{dt}=0\\ a_{\text{z}}=\frac{d{v}_{\text{z}}}{dt}=\frac{-qE}{m}\end{array}\right)$.

Par intégration, on en déduit les coordonnées du vecteur vitesse :

$\left(\begin{array}{c}{v}_{\text{x}}\left(t\right)=C_1\\ v_{\text{z}}\left(t\right)=\frac{-qE}{m}t+C_2\end{array}\right)$.

C₁ et C₂ sont des constantes, que l’on peut déterminer en utilisant les coordonnées $\left(\begin{array}{c}{v}_0\\ 0\end{array}\right)$ du vecteur vitesse $\overrightarrow{v_0}=v_0\overrightarrow{i}$ à la date t₀ = 0 :

$\left(\begin{array}{c}{v}_0=C_1\\ 0=\frac{-qE}{m}\times 0+C_2\end{array}\right)$ donc : C₁ = v₀ et C₂ = 0.

Les équations horaires du vecteur vitesse sont finalement : $\left(\begin{array}{c}{v}_{\text{x}}\left(t\right)=v_0\\ v_{\text{z}}\left(t\right)=\frac{-qE}{m}t\end{array}\right).$

Le vecteur vitesse est la dérivée temporelle du vecteur position $\overrightarrow{OG}$ donc : $\left(\begin{array}{c}{v}_{\text{x}}=\frac{dx}{dt}=v_0\\ v_{\text{z}}=\frac{dz}{dt}=\frac{-qE}{m}t\end{array}\right)$.

Par intégration, on en déduit les coordonnées du vecteur position :

$\left(\begin{array}{c}x\left(t\right)=v_{0}t+C_3\\ z\left(t\right)=\frac{-qE}{2m}{t}^2+C_4\end{array}\right)$.

C₃ et C₄ sont des constantes que l’on peut déterminer en utilisant les coordonnées $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ du vecteur position à la date t₀ = 0 :

$\left(\begin{array}{c}0=v_0\times 0+C_3\\ 0=\frac{-qE}{2m}\times 0^2+C_4\end{array}\right)$ donc : C₃ = 0 et C₄ = 0.

Finalement, les équations horaires du mouvement de la goutte dans le déflecteur sont données par les relations : $\left(\begin{array}{c}x\left(t\right)=v_{0}t\\ z\left(t\right)=\frac{-qE}{2m}{t}^2\end{array}\right).$

▶ 4. Exprimer la date à laquelle la goutte sort du déflecteur et en déduire la valeur de la déviation

D’après la figure 2, la goutte G sort du déflecteur en un point noté S d’abscisse x_S = L.

En utilisant l’équation horaire $x\left(t\right)=v_{0}t$, on peut déterminer la date t_S à laquelle la goutte passe en S : x_S = L = v₀t_S donc $t_{\text{S}}=\frac{L}{v_0}$.

La déviation HS est l’ordonnée z_S de la goutte à la date t_S. En utilisant l’équation horaire $z\left(t\right)=\frac{-qE}{2m}{t}^2$, on obtient :

$HS=z\left(t_{\text{S}}\right)=z_S=\frac{-qE}{2m}{t}_{\text{S}}{}^2$.

Sachant que $t_{\text{S}}=\frac{L}{v_0}$, on en déduit : $HS=\frac{-qE{L}^2}{2m{v}_0^2}$.

Les valeurs données dans l’énoncé pour q, E, L, m et v₀ permettent de calculer la valeur de la déviation de la goutte à la sortie du déflecteur :

$HS=\frac{-4\times {10}^{-13}\times 9\times {10}^5\times {(2\times {10}^{-2})}^2}{2\times 2\times {10}^{-10}\times {20}^2}$

 = 9 × 10⁻⁴ m = 0,9 mm.

▶ 5. Exprimer les coordonnées du vecteur vitesse $\overrightarrow{v_S}$ de la goutte à la sortie du déflecteur

Pour exprimer les coordonnées $\left(\begin{array}{c}{v}_{\text{Sx}}\\ v_{\text{Sz}}\end{array}\right)$ du vecteur vitesse $\overrightarrow{v_{\text{s}}}$ de la goutte en S, il faut reporter la valeur $t_{\text{S}}=\frac{L}{v_0}$ dans les équations horaires : $\left(\begin{array}{c}{v}_{\text{x}}\left(t\right)=v_0\\ v_{\text{z}}\left(t\right)=\frac{-qE}{m}t\end{array}\right)$. D’où : $\left(\begin{array}{c}{v}_{\text{Sx}}=v_0\\ v_{\text{Sz}}=\frac{-qEL}{m{v}_0}\end{array}\right)$.

▶ 6. Exprimer la valeur de tan α où α est l’angle entre l’axe (Ox) et le vecteur vitesse $\overrightarrow{v_S}$

L’angle α entre l’axe horizontal (Ox) et le vecteur vitesse $\overrightarrow{v_s}$ est tel que : $\tan \text{α}=\frac{v_{\text{Sz}}}{v_{\text{Sx}}}$.

En utilisant les expressions des coordonnées v_Sx et v_Sz obtenues à la question précédente, on obtient : $tan\text{α}=\frac{-qEL}{m{v}_0{}^2}$.

▶ 7. En déduire la valeur de la hauteur H’I puis commenter

On voit sur la figure 2 que H′I = H′S′ + S′I.

Or H′S′ = HS donc, d’après le calcul fait dans la question 4, H′S′ = 0,9 mm.

La valeur de la distance S′I s’obtient à l’aide de l’expression de tanα dans le triangle SS′I : $tan\text{α}=\frac{{\text{S}}^{\prime }\text{I}}{\text{S}{\text{S}}^{\prime }}$.

Sachant que SS′ = D, on peut écrire : S′I = D × tan α.

Or, d’après la question 6, $tan\text{α}=\frac{-qEL}{m{v}_0{}^2}$ d’où : S′I = $\frac{-qELD}{m{v}_0{}^2}.$

Les données de l’énoncé permettent de conduire l’application numérique :

${\text{S}}^{\prime }\text{I}=\frac{-4\times {10}^{-13}\times 9\times {10}^5\times 2\times {10}^{-2}\times 3\times {10}^{-2}}{2\times {10}^{-10}\times {\left(20\right)}^2}$

= 2,7 × 10⁻³ m = 2,7 mm.

Finalement, la hauteur H′I = H′S′ + S′I

H′I = 0,9 mm + 2,7 mm = 3,6 mm.

Cette valeur est en accord avec la hauteur moyenne d’un caractère imprimé indiquée dans l’énoncé (h = 3 mm).

▶ 8. Proposer plusieurs moyens d’augmenter la taille du caractère imprimé

La taille du caractère imprimé est assimilable à la hauteur H′I = H′S′ + S′I.

On a vu que ${\text{H}}^{\prime }{\text{S}}^{\prime }=\text{HS}=\frac{-qE{L}^2}{2m{v}_0^2}$ et ${\text{S}}^{\prime }\text{I}=\frac{-qELD}{m{v}_0{}^2}$. On a donc :

${\text{H}}^{\prime }\text{I}=\frac{-qE{L}^2}{2m{v}_0^2}-\frac{qELD}{m{v}_0{}^2}$

d’où : ${\text{H}}^{\prime }\text{I}=\frac{-qEL}{m{v}_0^2}\times \left(\frac{L}{2}+D\right).$

Plusieurs paramètres physiques peuvent donc être modifiés pour accroître la taille du caractère :

augmenter la valeur absolue $\left|q\right|$ de la charge électrique de la goutte,

diminuer la masse m de la goutte (mais cela risque d’altérer la qualité de l’impression),

diminuer la vitesse initiale v₀ de la goutte,

augmenter la valeur E du champ électrique,

augmenter la longueur L du déflecteur ;

augmenter la distance D entre le déflecteur et le support d’impression.