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Inscription dans une association

Amérique du Nord • Juin 2017

Exercice 4 • 5 points • 1 h

Inscription dans une association

Les thèmes clés

Matrices • Suites • Arithmétique

 

Les parties A et B sont indépendantes.

partie A

Une association gère des activités pour des enfants. Elle propose deux programmes d'activités, le programme A : cirque – éveil musical, et le programme B : théâtre – arts plastiques.

À sa création en 2014, l'association compte 150 enfants qui suivent tous le programme A.

Pour chacune des années suivantes, le nombre d'enfants inscrits dans l'association reste égal à 150.

On dispose également des informations suivantes :

Chaque enfant ne peut suivre qu'un seul programme : soit le programme A, soit le programme B.

D'une année à l'autre, 20 % des inscrits au programme A choisissent à nouveau le programme A, alors que 40 % choisissent le programme B. Les autres quittent l'association.

D'une année à l'autre, 60 % des inscrits au programme B choisissent à nouveau le programme B et les autres quittent l'association.

Les nouveaux inscrits, qui compensent les départs, suivent obligatoirement le programme A.

On modélise le nombre d'inscrits au programme A et le nombre d'inscrits au programme B durant l'année 2014 + n respectivement par deux suites (an) et (bn) et on note Un la matrice ligne (anbn). On a donc U0=(1500).

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a Un+1 = Un M M=(0,60,40,40,6).

2. Montrer que, pour tout entier naturel n :

Un=(75+75 × 0,2n75 75 × 0,2n).

3. En déduire la répartition des effectifs à long terme entre les deux programmes.

partie B

L'association affecte à chaque enfant un numéro à 6 chiffres c1c2c3c4c5k. Les deux premiers chiffres représentent l'année de naissance de l'enfant, les trois suivants sont attribués à l'enfant au moment de sa première inscription. Le dernier chiffre, appelé clé de contrôle, est calculé automatiquement de la façon suivante :

on effectue la somme = c1 + c3 + c5 + a × (c2 + c4) où a est un entier compris entre 1 et 9 

on effectue la division euclidienne de S par 10, le reste obtenu est la clé k.

Lorsqu'un employé saisit le numéro à 6 chiffres d'un enfant, on peut détecter une erreur de saisie lorsque le sixième chiffre n'est pas égal à la clé de contrôle calculée à partir des cinq premiers chiffres.

1. Dans cette question seulement, on choisit = 3.

a) Le numéro 111383 peut-il être celui d'un enfant inscrit à l'association ?

b) L'employé, confondant un frère et une sœur, échange leurs années de naissance : 2008 et 2011. Ainsi, le numéro 08c3c4c5k est transformé en 11c3c4c5k. Cette erreur est-elle détectée grâce à la clé ?

2. On note c1c2c3c4c5k le numéro d'un enfant. On cherche les valeurs de l'entier a pour lesquelles la clé détecte systématiquement la faute de frappe lorsque les chiffres c3 et c4 sont intervertis. On suppose donc que les chiffres c3 et c4 sont distincts.

a) Montrer que la clé ne détecte pas l'erreur d'interversion des chiffres c3 et c4 si et seulement si (a – 1)(c4c3) est congru à 0 modulo 10.

b) Déterminer les entiers n compris entre 0 et 9 pour lesquels il existe un entier p compris entre 1 et 9 tel que np  0 (10).

c) En déduire les valeurs de l'entier a qui permettent, grâce à la clé, de détecter systématiquement l'interversion des chiffres c3 et c4.

Les clés du sujet

Partie A

1. Déterminez, à l'aide de l'énoncé, l'expression de an+1 puis de bn+1 en fonction de an et bn pour en déduire la matrice M et la relation demandée.

2. Pensez à un raisonnement par récurrence.

Partie B

2. a) Calculez la valeur de S pour chaque numéro (sans et avec interversion) et travaillez ensuite modulo 10 pour traduire la non-détection de l'erreur.

Corrigé

Partie A

1. Établir une égalité matricielle

Les inscrits au programme A en 2014 + (n + 1) sont constitués :

des 20 % inscrits au programme A en 2014 + n qui se réinscrivent l'année suivante, soit 0,2an 

des nouveaux inscrits qui compensent les départs de 40 % des inscrits du programme A en 2014 + n, soit 0,4an 

des nouveaux inscrits qui compensent les départs de 40 % des inscrits du programme B en 2014 + n, soit 0,4bn.

Finalement, pour tout entier naturel n :

an+1 = 0,2an + 0,4an + 0,4bn = 0,6an + 0,4bn.

Les inscrits au programme B en 2014 + (n + 1) sont constitués :

des 60 % inscrits au programme B en 2014 + n qui se réinscrivent l'année suivante, soit 0,6bn 

des 40 % inscrits au programme A en 2014 + n qui s'inscrivent au programme B l'année suivante, soit 0,4an.

Finalement, pour tout entier naturel n : bn+1 = 0,4an + 0,6bn.

Sous forme d'un système nous avons alors, pour tout entier naturel n :

{an+1=0,6an+0,4bnbn+1=0,4an+0,6bn,

ce qui s'écrit sous forme matricielle Un+1=UnM M=(0,60,40,40,6).

2. Démontrer une égalité matricielle par récurrence  E1 

Soit P(n) la propriété : Un=(75+75×0,2n7575×0,2n).

Initialisation : d'après l'énoncé, U0=(1500)  or, nous avons aussi :(75+75×0,207575×0,20)=(75+757575)=(1500)=U0.

La propriété est donc initialisée.

Hérédité : supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier naturel k.

Montrons que P(k + 1) est aussi vérifiée.

Uk+1=questionUkM=(75+75×0,2k7575×0,2k)hypothèse de récurrence×(0,60,40,40,6)=([75+75×0,2k]×0,6+[7575×0,2k]×0,4[75+75×0,2k]×0,4+[7575×0,2k]×0,6)=(75×(0,6+0,4)+75×0,2k×(0,60,4)75×(0,4+0,6)+75×0,2k×(0,40,6))=(75×1+75×0,2k×0,275×1+75×0,2k×(0,2))=(75+75×0,2k+17575×0,2k+1)

Conclusion : la propriété P(n) étant initialisée pour n = 0 et héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel n. Par conséquent, pour tout entier naturel n :

Un=(75+75×0,2n7575×0,2n).

3. Calculer des limites de suites  E2c • E4d 

Si q = 0,2, alors - 1  q  1 et limn+qn=0. Par conséquent :

par multiplication et addition, limn+an=limn+75+75×0,2nquestion 2=75

par multiplication et soustraction, limn+bn=limn+7575×0,2nquestion 2=75.

À long terme, nous obtenons une répartition équitable des effectifs entre les deux programmes.

Partie B

1. a) Vérifier un numéro à l'aide d'une division euclidienne

Comme c1c2c3c4c5k = 111383 et a = 3, nous avons :

S = c1 + c3 + c5 + a × (c2 + c4) = 1 + 1 + 8 + 3 × (1 + 3) = 22.

Or S = 22 = 10 × 2 + 2 donc le reste de la division euclidienne de 22 par 10 est 2. Par conséquent, la clé k devrait être égale à 2 or le dernier chiffre du numéro est k = 3.

Le numéro proposé ne peut donc être celui d'un enfant inscrit à l'association.

b) Détecter une erreur dans un numéro

Avec le numéro 08c3c4c5k et a = 3, nous avons :

S1=c1+c3+c5+a×(c2+c4)=0+c3+c5+3×(8+c4)=c3+3c4+c5+24.

Soit S1 c3 + 3c4 + c5 + 4 [10].

Avec le numéro 11c3c4c5k et a = 3, nous avons :

S2 = c1 + c3 + c5 + a × (c2 + c4)

= 1 + c3 + c5 + 3 × (1 + c4= c3 + 3c4 + c5 + 4.

Par conséquent, nous avons S1 S2 [10].

L'erreur ne peut donc être détectée grâce à la clé.

2. a) Établir une équivalence

Avec le numéro c1c2c3c4c5k, nous avons S = c1 + c3 + c5 + a × (c2 + c4).

Avec le numéro c1c2c4c3c5k, nous avons S = c1 + c4 + c5 + a × (c2 + c3).

Par conséquent, la clé ne détecte pas l'erreur d'interversion des chiffres c3 et c4 si et seulement si c1 + c3 + c5 + a × (c2 + c4) c1 + c4 + c5 + a × (c2 + c3) [10].

Or :

notez bien !

Soit a, b, c des entiers relatifs, n un entier tel que n  2.

Si a  b [n] alors a + c  b + c [n].

c1+c3+c5+a×(c2+c4)c1+c4+c5+a×(c2+c3)[10]c3+a×c4c4+a×c3[10]c3c4+a×(c4c3)0[10](a1)×(c4c3)0[10].

Finalement, la clé ne détecte pas l'erreur d'interversion des chiffres c3 et c4 si et seulement si (a - 1) × (c4 - c3) est congru à 0 modulo 10.

b) Déterminer des entiers vérifiant une condition donnée

Présentons dans un tableau les restes des divisions euclidiennes de np par 10 avec n entier compris entre 0 et 9 et p entier compris entre 1 et 9.

p

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

2

4

6

8

0

2

4

6

8

3

3

6

9

2

5

8

1

4

7

4

4

8

2

6

0

4

8

2

6

5

5

0

5

0

5

0

5

0

5

6

6

2

8

4

0

6

2

8

4

7

7

4

1

8

5

2

9

6

3

8

8

6

4

2

0

8

6

4

2

9

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Finalement, les entiers n compris entre 0 et 9 pour lesquels il existe un entier p compris entre 1 et 9 tel que np 0 [10] sont 0  2  4  5  6 et 8.

c) Déterminer les valeurs possibles d'un entier permettant de détecter une erreur

D'après la question 2. a), la clé ne détecte pas l'erreur d'interversion des chiffres c3 et c4 si et seulement si (a - 1)×(c4 - c3) est congru à 0 modulo 10.

D'après l'énoncé, 1  a  9 soit encore 0  a - 1  8.

D'après la question précédente, (a - 1) × (c4 - c3) pourra être congru à 0 modulo 10, selon les valeurs de c3 et c4, si a - 1 appartient à l'ensemble {024568} soit si a{135679}.

Pour détecter systématiquement l'interversion entre c3 et c4, grâce à la clé, il faut choisir les valeurs de a dans l'ensemble {248}.

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