Installation d’un grillage pour délimiter un enclos

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la notion de fonction
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Amérique du Nord


Amérique du Nord • Juin 2017

Exercice 6 • 10 points

Installation d’un grillage pour délimiter un enclos

mat3_1706_02_03C_01

Le schéma ci-contre représente le jardin de Leïla. Il n’est pas à l’échelle.

[OB] et [OF] sont des murs, OB = 6 m et OF = 4 m.

La ligne pointillée BCDEF représente le grillage que Leïla veut installer pour délimiter un enclos rectangulaire OCDE.

Elle dispose d’un rouleau de 50 m de grillage qu’elle veut utiliser entièrement.

Leïla envisage plusieurs possibilités pour placer le point C.

1. En plaçant C pour que BC = 5 m, elle obtient que FE = 15 m.

a) Vérifier qu’elle utilise les 50 m de grillage.

b) Justifier que l’aire A de l’enclos OCDE est 209 m2.

2. Pour avoir une aire maximale, Leïla fait appel à sa voisine professeure de mathématiques qui, un peu pressée, lui écrit sur un bout de papier :

« En notant BC = x, on a A(x) = x2 + 18x + 144. »

Vérifier que la formule de la voisine est bien cohérente avec le résultat de la question 1.

Dans cette partie, les questions a) et b) ne nécessitent pas de justification.

3. a) Leïla a saisi une formule en B2 puis l’a étirée jusqu’à la cellule I2.

mat3_1706_02_03C_02

Quelle formule est alors inscrite dans la cellule F2 ?

b) Parmi les valeurs figurant dans le tableau, quelle est celle que Leïla va choisir pour BC afin d’obtenir un enclos d’aire maximale ?

c) Donner les dimensions de l’enclos ainsi obtenu.

Les clés du sujet

Points du programme

Aire d’un rectangle Tableur Fonction.

Nos coups de pouce

1. b) L’aire d’un rectangle est égale au produit de sa longueur par sa largeur.

2. Remplace x par 5 dans la formule donnée par la professeure.

3. Lis la mesure de l’aire maximale sur la feuille de calcul du tableur puis conclus.

Corrigé

Corrigé

1. a) Dans cette question, toutes les longueurs sont exprimées en mètres.

Attention

On ne pose pas de grillage sur les murs.

Notons L la longueur du grillage nécessaire à la réalisation de l’enclos. Nous avons :L=BC+CD+DE+EF. Mais :

BC=5 et EF=15,

CD=OE=OF+FE donc CD=4+15=19,

DE=OC=OB+BC donc DE=6+5=11.

Alors L=5+19+11+15=50.

Conclusion : Leïla a bien utilisé les 50 m de grillage.

b) Notons A l’aire de l’enclos OCDE. Nous avons A = OC × OE.

Mais nous avons vu à la question précédente que OC=11 et OE=19.

Alors A = 11 × 19 = 209, soit A = 209 m2.

2. Nous avons A(x)=x2+18x+144 avec BC=x. Calculons A(5).

A(5)=52+18×5+144 soit A(5)=25+90+144 ou encore A(5)=209.

Conclusion : la formule donnée est bien cohérente avec le résultat de la question 1.

3. a) La formule inscrite dans la cellule F2 de la feuille de calcul est : « =–F1*F1+18*F1+144 ».

b) Leïla va choisir pour BC la valeur 9. En effet, dans ce cas, l’aire de l’enclos mesure 225 m2 et est maximale.

c) Nous savons maintenant que BC = 9.

Alors OC=OB+BC=6+9=15.

Nous avons A = OC × OE.

Donc 225=15×OE, c’est-à-dire OE=22515=15.

Conclusion : la longueur et la largeur de l’enclos rectangulaire mesurent toutes deux 15 m.

L’enclos OCDE est un carré de 15 m de côté.