▶ 1. Calculer une intégrale

$I_0={{\displaystyle \int }}_0^{\text{π}}\sin (x)\text{d}x$

$I_0={\left[-\cos (x)\right]}_0^{\text{π}}$

$I_0=-\cos (\text{π})+\cos (0)$

$\boxed{I_0=2}$

▶ 2. a) Donner le signe d’une intégrale

Pour tout $x\in [\text{0};\text{π}]$, ${\text{e}}^{-nx}>0$ et $\sin (x)\ge 0$, donc ${\text{e}}^{-nx}\sin (x)\ge 0$.

Par positivité de l’intégrale, $I_n\ge 0$.

b) Étudier le signe de la différence de deux intégrales

Soit n ∈ ℕ. Par linéarité :

$I_{n+1}-I_n={{\displaystyle \int }}_0^{\text{π}}({\text{e}}^{-(n+1)x}-{\text{e}}^{-nx})\sin (x)\text{d}x$

$I_{n+1}-I_n={{\displaystyle \int }}_0^{\text{π}}{\text{e}}^{-(n+1)x}(\text{1}-{\text{e}}^x)\sin (x)\text{d}x$.

Pour tout $x\in [\text{0};\text{π}]$, ${\text{e}}^{-(n+1)x}>0$, $1-{\text{e}}^x\le 0$ (car x ≥ 0 donc ${\text{e}}^x\ge 1$) et $\sin (x)\ge 0$, donc ${\text{e}}^{-(n+1)x}(1-{\text{e}}^x)\sin (x)\le 0$ ; donc $I_{n+1}-I_n\le 0$.

c) Étudier la convergence d’une suite

D’après les questions a) et b), la suite $(I_n)$ est minorée par 0 et décroissante, donc d’après le théorème de convergence monotone, cette suite converge.

▶ 3. a) Montrer une inégalité entre deux intégrales

Soit n ∈ℕ. Pour tout $x\in [\text{0};\text{π}]$, $\sin (x)\le 1$ donc ${\text{e}}^{-nx}\text{sin}(x)\le {\text{e}}^{-nx}$, car ${\text{e}}^{-nx}>0$. Donc ${{\displaystyle \int }}_0^{\text{π}}{\text{e}}^{-nx}\sin (x)\text{d}x\le {{\displaystyle \int }}_0^{\text{π}}{\text{e}}^{-nx}\text{d}x$, soit $\boxed{I_n\le {{\displaystyle \int }}_0^{\text{π}}{\text{e}}^{-nx}\text{d}x}$.

b) Calculer une intégrale

${{\displaystyle \int }}_0^{\text{π}}{\text{e}}^{-nx}\text{d}x={\left[-\frac{1}{n}{\text{e}}^{-nx}\right]}_0^{\text{π}}=-\frac{1}{n}({\text{e}}^{-n\text{π}}-1)$.

Donc :

$\boxed{{{\displaystyle \int }}_0^{\text{π}}{\text{e}}^{-nx}\text{d}x=\frac{1-{\text{e}}^{-n\text{π}}}{n}}$

c) Déterminer la limite d’une suite

D’après les propriétés de l’exponentielle, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\text{e}}^{-n\text{π}}=0$,

donc $\underset{n\to +\text{∞}}{\lim }\frac{1-{\text{e}}^{-n\text{π}}}{n}=0$, donc $\underset{n\to +\text{∞}}{\lim }{{\displaystyle \int }}_0^{\text{π}}{\text{e}}^{-nx}\text{d}x=0.$

Or on a vu que, pour tout n ∈ ℕ, $0\le I_n\le {{\displaystyle \int }}_0^{\text{π}}{\text{e}}^{-nx}\text{d}x$.

Donc, d’après le théorème des gendarmes, $\boxed{\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0}$.

▶ 4. a) Appliquer la formule d’intégration par parties

Pour tout $x\in [\text{0};\text{π}]$, on pose $u(x)={\text{e}}^{-nx}$ et $v^{\prime }(x)=\text{sin(}x)$. Alors $u^{\prime }(x)=-n{\text{e}}^{-nx}$ et $v(x)=-\text{cos(}x)$.

$I_n={[-\cos (x){\text{e}}^{-nx}]}_0^{\text{π}}-n{{\displaystyle \int }}_0^{\text{π}}{\text{e}}^{-nx}\cos (x)\text{d}x$

$I_n=-\cos (\text{π}){\text{e}}^{-n\text{π}}+1-n{J}_n$

$\boxed{I_n={\text{e}}^{-n\text{π}}+1-n{J}_n}$

Pour tout $x\in [\text{0};\text{π}]$, on pose $u(x)=\text{sin(}x)$ et $v^{\prime }(x)={\text{e}}^{-nx}$. Alors $u^{\prime }(x)=\cos (x)$ et $v(x)=-\frac{1}{n}{\text{e}}^{-nx}$.

$I_n={\left[-\frac{1}{n}\sin (x){\text{e}}^{-nx}\right]}_0^{\text{π}}+\frac{1}{n}{{\displaystyle \int }}_0^{\text{π}}{\text{e}}^{-nx}\cos (x)\text{d}x$

$\boxed{I_n=\frac{1}{n}{J}_n}$

b) Déterminer l’expression d’une intégrale

D’après la question précédente, J_n = nI_n, donc $I_n={\text{e}}^{-n\text{π}}+1-n^2{I}_n$.

Donc $I_n+n^2{I}_n={\text{e}}^{-n\text{π}}+1$ et $\boxed{I_n=\frac{{\text{e}}^{-n\text{π}}+\text{1 }}{1+n^2}}$.

▶ 5. Compléter un algorithme

On souhaite obtenir le rang n à partir duquel I_n devient inférieur à 0,1. Le programme doit donc, en utilisant la formule établie à la question précédente, calculer les termes successifs de la suite (I_n) tant que I_n ≥ 0,1. On complète donc la cinquième ligne du script Python proposé par

$\boxed{whileI>=0.1:}$