Intégration

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Intégration

Premier exercice de type Bac – Calcul d’aire

A. Étude de la fonction f11515_Maths_09_11

On considère la fonction f définie sur par :

f(x) = (2x2 – 5x + 2)ex.

On note 𝒞 la courbe représentative la fonction f dans un repère orthonormé (O ; i, j) (unité graphique : 2 cm).

La courbe 𝒞 est donnée sur la figure ci-contre.

1. a. Déterminer la limite de la fonction f en + .

b. On admet que limx(2x25x)ex=0. En déduire limxf(x).

c. Déduire du b. l’existence d’une asymptote dont on précisera l’équation.

2. On note f la fonction dérivée de la fonction f.

a. Démontrer que, pour tout nombre réel x,

f(x) = (2x2x – 3)ex.

b. Étudier le signe de f(x) suivant les valeurs de x.

c. Donner le tableau de variation de la fonction f (préciser la valeur exacte de chaque extremum).

B. Calcul d’une intégrale

1. On désigne par F la fonction définie sur par : F(x) = (2x2 – 9x + 11)ex.

Montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur .

2. Calculer l’intégrale I=0,52f(x)dx.

3. Donner une interprétation graphique de cette intégrale.

Corrigé

A. 1. a. De limx+(2x25x+2)=+ et limx+ex=+, on déduit que limx+(2x25x+2)ex=+, c’est-à-dire : limx+f(x)=+.

b. • Pour tout x de , f(x) = (2x2 – 5x) ex + 2ex.

On donne limx(2x25x)ex=0.

On sait que limxex=0, d’où limx2ex=0.

D’où limx(2x25x)ex+2ex=0, c’est-à-dire : limxf(x)=0.

• De limxf(x)=0, on déduit que la droite d’équation y = 0, c’est-à-dire l’axe des abscisses est asymptote horizontale de 𝒞 en .

2. a. Pour tout nombre réel x,

On utilise :

f(x) = ex ; f(x) = ex ;

• (uv) = uv + uv.

f′(x) = (4x – 5)ex + (2x2 + 5x + 2)ex,

f′(x) = [(4x – 5) + (2x2 – 5x + 2)]ex,

f′(x) = (4x – 5 + 2x2 – 5x + 2)ex,

f(x) = (2x2 x – 3)ex.

b. Pour tout nombre réel x, ex > 0.

Donc f′(x) a même signe que 2x2x – 3.

Les racines de 2x2x – 3 sont x1 = – 1 et x2=32.

Le signe de (2x2x – 3) lorsque x varie dans est donc donné par :

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_9

ÉTUDE DU SIGNE DE f(x) = ax2 + bx + c

Un résultat de Première STI2D-STL :

Signe de f(x) = ax2 + bx + c.

• Si ∆ = b2 – 4ac > 0, f(x) admet deux racines, notées x1 et x2, avec x1 < x2. Le signe de f(x) lorsque x varie dans est donné par :

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_7

• Si ∆ = 0, f(x) admet une racine double, x1=x2=b2a.

Le signe de f(x) est donné par :

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_6

• Si ∆ < 0, f(x) n’admet pas de racine.

Le signe de f(x) est donné par :

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_5

c. f(– 1) = 9e–1 et f32=e32. D’où le tableau de variation :

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_8

B. 1. Pour vérifier que F est une primitive de f, montrons que F′(x) = f(x).

On utilise :
(uv) = uv + uv.

Pour tout x de , F′(x) = (4x – 9)ex + (2x2 – 9x + 11)ex,

F′(x) = [(4x – 9) + (2x2 – 9x + 11)]ex ; F′(x) = (4x – 9 + 2x2 – 9x + 11)ex ; F′(x) = (2x2 – 5x + 2)ex ; F′(x) = f(x).

F est une primitive de f sur .

2. I=0,52f(x)dx. I=[F(x)]0,52, I = F(2) – F(0,5) ; I = e2 – 7e0,5.

3. On a f(0,5) = 0 et f(2) = 0.

La courbe 𝒞 coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses 0,5 et 2.

D’autre part, pour tout x de ]0,5 ; 2[, f′(x) < 0.

Donc, l’aire de la partie du plan limitée par 𝒞 et l’axe des abscisses est : 0,52f(x)dx.

I est l’aire en unités d’aire de la partie du plan limitée par l’axe des abscisses et 𝒞 pour 0,5 ≤ x ≤ 2.

L’unité d’aire vaut 2 × 2 = 4 cm2. Donc l’aire en cm2 est : – 4I cm2.